第五章第一章第一章.docx

5.1．原函数与不定积分的概念

一、原函数的概念和不定积分
二、不定积分的性质

一、原函数的概念和不定积分
原函数存在定理
定理：如果函数SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0内连续，那么在区间SKIPIF1<0内它的原函数一定存在，即：存在SKIPIF1<0，对一切的SKIPIF1<0，均有SKIPIF1<0。
简言之：连续函数一定有原函数。
如果SKIPIF1<0有原函数，那么原函数的个数为无限多个。

定义2在区间SKIPIF1<0内，函数SKIPIF1<0的带有任意常数项的原函数称为SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0内的不定积分，记作SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0
其中：SKIPIF1<0称为积分号，SKIPIF1<0称为被积函数，SKIPIF1<0称为被积表达式，SKIPIF1<0称为积分变量。

不定积分的几何意义：。
1、函数SKIPIF1<0的一个原函数SKIPIF1<0的图形叫做函数的一条积分曲线，其方程为 SKIPIF1<0
2、不定积分SKIPIF1<0的图形叫做函数的积分曲线族，它们的方程为
SKIPIF1<0。
3、由SKIPIF1<0可知：
在积分曲线族上横坐标相同的点处作切线，这些切线彼此平行。
二、不定积分的性质
由不定积分的定义可得以下性质：
(1)由不定积分和微分的关系关系式：
SKIPIF1<0或SKIPIF1<0
SKIPIF1<0或SKIPIF1<0
由此可见，微分运算(记号为SKIPIF1<0)与不定积分运算(记号为SKIPIF1<0)是互逆的。当记号合在一起时，或者抵消，或者抵消后差一个常数。

（2）运算性质
性质1SKIPIF1<0
性质2SKIPIF1<0(SKIPIF1<0为非零常数)

注意：要检查不定积分是否计算正确，只要对结果求导，看是否等于被积函数。

小结：
1原函数的概念和不定积分
SKIPIF1<0
2、不定积分的性质
微分与不定积分的可逆性：SKIPIF1<0SKIPIF1<0
不定积分的线性运算SKIPIF1<0
SKIPIF1<0(SKIPIF1<0为非零常数)

5.2基本积分公式
SKIPIF1<0
由基本微分公式可得基本积分公式
eq\o\ac(○,1)SKIPIF1<0(SKIPIF1<0为常数)，SKIPIF1<0
eq\o\ac(○,2)SKIPIF1<0(SKIPIF1<0)，
eq\o\ac(○,3)SKIPIF1<0，eq\o\ac(○,4)SKIPIF1<0，
eq\o\ac(○,5)SKIPIF1<0，eq\o\ac(○,6)SKIPIF1<0，
eq\o\ac(○,7)SKIPIF1<0，eq\o\ac(○,8)SKIPIF1<0，
eq\o\ac(○,9)SKIPIF1<0，eq\o\ac(○,10)SKIPIF1<0，
eq\o\ac(○,11)SKIPIF1<0，
eq\o\ac(○,12)SKIPIF1<0，
eq\o\ac(○,13)SKIPIF1<0.
这些基本公式是求不定积分的基础，应熟记．

小结：应用不定积分的基本公式求不定积分常需对被积函数作变形，变形的主要原则将其拆分为若干个能够直接使用积分表的积分分别计算．
5.3换元积分法
用基本积分表中的公式和积分运算性质就无法计算。因此需要寻找新的积分方法．对应于复合函数的求导法则，可以得到相应的积分法则，通常称为换元积分法．

一．第一类换元法
二、第二类换元法

第一类换元法
定理1（第一类换元法）：
SKIPIF1<0
这种方法称为凑微分法．（将公式中的箭头作出动态效果）

注意：换元积分法技巧性强，需要多作练习，不断归纳，积累经验，才能灵活运用．

通过以上例题，可以归纳出如下一般凑微分形式：
SKIPIF1<0SKIPIF1<0；
SKIPIF1<0；
SKIPIF1<0；
SKIPIF1<0；
SKIPIF1<0；
SKIPIF1<0；
SKIPIF1<0；
SKIPIF1<0
等等．

二．第二类换元法
由以上的讨论可以看出，当积分SKIPIF1<0不易求得，而将它凑微分为SKIPIF1<0的形式易于积分时，利用第一类换元法可以方便地求出积分．
但