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空间点线面位置关系及平行判定及性质
【知识点梳理】
1．平面的基本性质公理1
如果一条直线上的两个点都在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内

2．平面的基本性质公理2（确定平面的依据）
经过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面

3．平面的基本性质公理2的推论
（1）经过一条直线和直线外的一点，有且只有一个平面
（2）经过两条相交直线，有且只有一个平面
（3）经过两条平行直线，有且只有一个平面

4．平面的基本性质公理3
如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，这些公共点的集合是一条直线

5．异面直线的定义与判定
（1）定义：不同在任何一个平面内的两条直线，既不相交也不平行
（2）判定：过平面外一点与平面内一点的直线，与平面内不经过该点的直线是异面直线

6．直线与直线平行
（1）平行四边形（矩形，菱形，正方形）
对边平行且相等，，
（2）三角形的中位线
分别是的中点
中位线平行且等于底边的一半，
（3）线面平行的性质定理
如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的一个平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行
，，
（4）面面平行的性质定理
如果两个平行的平面同时与第三个平面相交，则它们的交线平行
，，
（5）线面垂直的性质定理
如果两条直线同垂直于一个平面，则这两条直线平行
，

7．直线与平面平行
（1）线面平行的判定定理
如果不在平面内的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行
，，
（2）面面平行的性质定理
如果两个平面互相平行，那么一个平面内的任一直线都平行于另一个平面
，

8．平面与平面平行
（1）面面平行的判定定理
如果一个平面内有两条相交直线，分别平行于另一个平面，那么这两个平面平行
，，，，
（2）垂直于同一直线的两个平面互相平行
，

【典型例题】
题型一：点线面的关系用符号表示、判断异面直线
例1．给定下列四个命题
①
②
③
④
其中，为真命题的是
A.①和② B.②和③ C.③和④ D.②和④

变式1．
给出下列关于互不相同的直线和平面的三个命题：
①若为异面直线，，则；
②若，则；
③若，则
其中真命题的个数为
A．3B．2C．1D．0

题型二：以中位线为突破口的平行证明问题
例2．如图，在四面体中，，点分别是棱，的中点，求证：平面

变式1．如图，在四面体中，，点分别是棱，的中点，求证：四边形为平行四边形

变式2．如图，在直三棱柱中，，，延长至点，使，连接交棱于．求证：平面；

题型三：以平行四边形为突破口的平行证明问题
例3．如图，正方形和四边形所在的平面互相垂直，，，，求证：平面

变式1．在三棱柱中，直线与底面所成的角是直角，直线与所成的角为，，且，分别为的中点．求证：平面；

题型四：三种平行之间的相互关系与转化
例4．如图所示，圆柱的高为2，是圆柱的母线，为矩形，，分别是线段的中点，求证：面；

变式1．如图，在长方体中，分别是的中点，分别是的中点，，，求证:面

题型五：探究性问题
例5．如图所示，直棱柱中，底面是直角梯形，，，，在线段上是否存在点（异于两点），使得平面？证明你的结论

变式1．
如图，直三棱柱中，，，上有一动点，上有一动点，讨论：无论在何处，都有平面，并证明你的结论

【方法与技巧总结】
1．熟记立体几何证明中的多个公理，推理，判定定理以及性质定理
2．熟练掌握空间中点线面的位置关系的符号表示，并能够适当灵活转化为中文以便理解，在此建立空间的想象能力和空间感，进一步把符号转化为立体图象加以记忆
3．熟记平行证明中常用的判定定理和性质定理，特别重视三角形中位线定理和平行四边形性质定理的应用
4．应用三角形中位线定理和平行四边形性质定理，证明线线平行，从而得出线面平行或面面平行，重视线线平行证明的重要性
5．掌握线性平行，线面平行，面面平行三者之间的相互转化

【巩固练习】
1．下面命题中正确的是()．
①若一个平面内有两条直线与另一个平面平行，则这两个平面平行；
②若一个平面内有无数条直线与另一个平面平行，则这两个平面平行；
③若一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面，则这两个平面平行；
④若一个平面内的两条相交直线分别与另一个平面平行，则这两个平面平行．
A．①③B．②④C．②③④D．③④

2．平面α∥平面β，a⊂α，b⊂β，则直线a，b的位置关系是()．
A．平行B．相交C．异面D．平行或异面

3．在空间中，下列命题正确的是()．
A．若a∥α，b∥a，则b∥αB．若a∥α，b∥α，a⊂β，b⊂β，则β∥α
C．若α