不动点法解题目.docx

利用“不动点”法巧解高考题

定义；方程f(x)=x的根称为函数f(x)的不动点。利用递推数列f（x）的不动点,可将某些递推关系an=￡(an-1)所确定的数列化为等比数列或较易求通项的数列，这种方法叫不动点法。
对于这个方法有几个重要定理，若只从代数角度理解，恐怕对许多中学生来说是有难度的。
下面笔者对这几个定理予以几何解释：
定理1：若f(x)=ax+b(a≠0,a≠1)，p是f(x)的不动点，an满足递推关系an=￡(an-1),(n>1)则an-P=a(an-1-p),即{an-P}是公比为a的等比数列。它的代数证明如下：
证明：因为p是f（x）的不动点,所以ap+b=p,所以b-p=-ap,由an=a.an-1+b得an-p=a.an-1+b-p=a(an-1-p),所以{an-P}是公比为a的等比数列。
对这一定理的几何意义如下：f(x)=x,即f(x)与g(x)=X的交点一目了然，an-p/an-1-p即为f(x)的斜率a。

上面是【文1】给出的纯代数证明，下面看看它所蕴含的几何意义。与定理一的几何意义相似，表示的是两条直线的的斜率相比是定值k,但怎么证明笔者尚未想到简便的方法，只能从上面的代数方法借鉴。第二种情况也是如此，an-p/an-1-p+k(an-p)=1.如下图，由于笔者能力有限，尚未发现几何证法。

由递推公式求其数列通项历来是高考的重点和热点题型，对那些已知递推关系但又难求通项的数列综合问题，充分运用函数的相关性质是解决这类问题的着手点和关键．与递推关系对应的函数的“不动点”决定着递推数列的增减情况，因此我们可以利用对函数“不动点”问题的研究结果，来简化对数列通项问题的探究。笔者在长期的教学实践中，不断总结探究反思，对那些难求通项的数列综合问题，形成利用函数不动点知识探究的规律性总结，以期对同学们解题有所帮助．
不动点的定义
一般的，设的定义域为,若存在，使成立，则称为的
不动点，或称为图像的不动点。
求线性递推数列的通项
定理1设，且为的不动点，满足递推关系，，证明是公比为a的等比数列。证：∵是的不动点，所以，所以，所以，∴数列是公比为的等比数列。
例1（2010上海文数21题）已知数列的前项和为，且，
(1)证明：是等比数列；(2)求数列的通项公式，并求出使得成立的最小正整数.
证：(1)当n1时，a114；当时，anSnSn15an5an11，即即，记，令，求出不动点，由定理1知：，又a1115≠0，所以数列{an1}是等比数列。(2)解略。
3求非线性递推数列的通项
定理2设，且是的不动点，数列满足递推关系，，（ⅰ）若，则数列是公比为的等比数列；（ⅱ），则数列是公差为的等差数列。
证：（ⅰ）由题设知；
同理∴，
所以数列是公比为的等比数列。
（ⅱ）由题设知＝的解为，∴且＝。所以

，所以数列是公差为的等差数列。
例2（2006年全国Ⅱ卷22题）设数列的前项和为，且方程有一根为。求数列的通项公式。
解：依题，且，将代入上式，得，记，令，求出不动点，由定理2（ⅱ）知：，所以数列是公差为的等差数列，所以，因此数列的通项公式为。
例3（2010年全国卷Ⅰ22题）已知数列中，
（Ⅰ）设，求数列的通项公式.（Ⅱ）求使不等式成立的的取值范围.
解：（Ⅰ）依题，记，令，求出不动点；由定理2（ⅰ）知：，；
两式相除得到，所以是以为公比，为首项的等比数列，所以，从而（Ⅱ）解略。
定理3设，且是的不动点，数列满足递推关系，，则有；若，则是公比为的等比数列。
证：∵是的不动点，∴，。
，又，则，
∴，故是公比为的等比数列。
（2010东城区二模试题）已知数列满足，EQ．⑴求证：；⑵求证：；⑶求数列的通项公式．
证：⑴、⑵证略；⑶依题，记，令，求出不动点；由定理3知：，，
所以，又，所以．
又，令，则数列是首项为，公比为的等比数列．所以．由，得．所以．
利用函数“不动点”法求解较复杂的递推数列的通项问题，并不局限于以上三种类型，基于高考数列试题的难度，本文不再对更为复杂的递推数列进行论述，以下两个定理供有兴趣的同学探究证明。
定理4设且是的最小不动点，数列满足递推关系，，则有
定理5设且是的不动点，数列满足递推关系，，则有