分段函数和抽象函数的各种题型.docx

课题分段函数与抽象函数
教学目标
掌握分段函数和抽象函数的各种题型
重点、难点
抽象函数的综合问题教学内容分段函数的几种常见题型及解法

【关键词】分段函数;定义域;值域或最值;函数值;解析式;图像;反函数;奇偶性;方程;不等式.

分段函数是指自变量在两个或两个以上不同的范围内,有不同的对应法则的函数,它是一个函数,却又常常被学生误认为是几个函数;它的定义域是各段函数定义域的并集,其值域也是各段函数值域的并集.由于它在理解和掌握函数的定义、函数的性质等知识的程度的考察上有较好的作用,时常在高考试题中“闪亮”登场,就几种具体的题型做了一些思考,解析如下：

1．求分段函数的定义域和值域
例1．求函数的定义域、值域.
【解析】
作图,利用“数形结合”易知的定义域为,值域为.

2．求分段函数的函数值
例2．（05年浙江理）已知函数求.
【解析】
因为,所以.

3．求分段函数的最值
例3．求函数的最大值.
【解析】当时,,当时,,当时,,综上有.

4．求分段函数的解析式
例4．在同一平面直角坐标系中,函数和的图象关于直线对称,现将的图象沿轴向左平移2个单位,再沿轴向上平移1个单位,所得的图象是由两条线段组成的折线（如图所示）,则函数的表达式为（）

【解析】
当时,,将其图象沿轴向右平移2个单位,再沿轴向下平移1个单位,得解析式为,所以,当时,,将其图象沿轴向右平移2个单位,再沿轴向下平移1个单位,得解析式,所以,综上可得,故选A.

5．作分段函数的图像
例5．函数的图像大致是（）

6．求分段函数得反函数
例6已知是定义在上的奇函数,且当时,,设得反函数为,求的表达式.
【解析】
设,则,所以,又因为是定义在上的奇函数,所以,且,所以,因此
,从而可得.

7．判断分段函数的奇偶性
例7．判断函数的奇偶性.
【解析】
当时,,,当时,,当,,因此,对于任意都有,所以为偶函数.

8．判断分段函数的单调性
例8．判断函数的单调性.
【解析】
显然连续.当时,恒成立,所以是单调递增函数,当时,恒成立,也是单调递增函数,所以在上是单调递增函数;或画图易知在上是单调递增函数.
例9．写出函数的单调减区间.
【解析】,画图易知单调减区间为.

9．解分段函数的方程
例10．（01年上海）设函数,则满足方程的的值为
【解析】
若,则,得,所以（舍去）,若,则,解得,所以即为所求.

10．解分段函数的不等式
例11．设函数,若,则得取值范围是（）

【解析1】
首先画出和的大致图像,易知时,所对应的的取值范围是.
【解析2】
因为,当时,,解得,当时,,解得,综上的取值范围是.故选D.
例12．设函数,则使得的自变量的取值范围为（）
A．B.
C.D.
【解析】
当时,,所以,当时,,所以,综上所述,或,故选A项.
【点评：】
以上分段函数性质的考查中,不难得到一种解题的重要途径,若能画出其大致图像,定义域、值域、最值、单调性、奇偶性等问题就会迎刃而解,方程、不等式等可用数形结合思想、等价转化思想、分类讨论思想及函数思想来解,使问题得到大大简化,效果明显.

抽象函数
抽象函数是指没有明确表达式但有运算规律及函数性质的函数。解决抽象函数问题，主要采取“赋值法”（取点或字母）整体迭代法，但核心是方法的发现，要掌握好抽象函数就必须有强烈目标意识、清晰的解题思路。
<一>、选择题
已知满足，对任意都有：
则为（ ）
A、奇函数 B、偶函数 C、非奇非偶函数 D、奇偶性不确定
解：令
令
是偶函数（或取符合条件） 选B
2、已知对任意有（ ）
A、2008 B、2006 C、1004 D、1003
解：令，
又令得： 选C
3、函数是定义在上的奇函数，且对任意都有，那么等于( )
A、3996 B、1998 C、2000 D、0
解：
（奇函数有） 选D
4、已知定义在上的函数满足条件则（ ）
A、0 B、1 C、 D、2
解：令两两不等， 选A
5、已知函数与都要存在反函数，且与的图象关于直线对称，若：（ ）
A、2004 B、2005 C、2006 D、2007
解法一：得：重合

解法二：在图象上，从而有点在图象上
在图象上 在图象上，即有 选C
6、函数是在上有定义的增函数，满足（ ）
A、1 B、0 C、 D、
解：
再令

若矛盾， 选D
<二>、填空题
7、已知满足，则的解析式为___________
解：令
8、已知是定义在非负整数集上的函数，且对任意正整数都有：
若____________
解：已知得相加得：
周期为6
（另解：看作数列周期为6）
9、若满足=_____