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关节八
审题与解法探寻的策略
任何一个解题过程都可分为两大环节，第一个环节是“解法的思考与形成”第二个环节是“解法的实施”。越是思维含量大与能力要求高的题目，越重在第一个环节。
审题与解法的探寻是构成第一个环节的两个步骤或说两个侧面，它们各有侧重但又密不可分，我们只是为了更好地进行分析和说明问题，才把二者分开来论述。
审题的策略
1、研究背景
绝大多数的数学题目，在已给的条件中都蕴含了结论的成立或不成立，即使是探究型的题目，要探究出的结论也必以条件为发生的根据。而题目所给的背景，就是最重要的条件，所以研究“背景”是获得解法的前提和启动器。

如图，已知。
A
B
C
（1）请你在BC边上分别取两点D，E，（BC的中点除外）连结AD，AE，写出使此图中只存在两对面积相等的三角形的相应条件，并表示出面积相等的三角形。

A
B
C
D
E
（2）请你根据使（1）成立的相应条件，证明

【观察与思考】研究背景
对于（1），通过画草图，如图（1`），其中除了外，还有五个三角形，它们由顶点A引的高都相等，易知只有在“”的条件下，才能确保图中“只存在两对面积相等的三角形”。

对于（2），要证明，由“要证线段的不等应借于三角形中三边
的关系”这一基本认识，结合（1`）中的，立刻想到将平移至 （1`）
，再进行推导。

解：（1）略；
（2）证明：如图（1``），分别过点D，B作CA，EA的平行线，
两线交于F点，DF与AB交于G点。
A
B
C
D
E
F
G

在和中，又有，

在中，，
在中，，
。 （1``）

即

【说明】对于（2）的如上的证法，是以对（1）的基础上背景图形（1`）特点的深入认识和对“用三角形三边的关系证线段的不等关系”这一基本模式的深刻掌握，才自然而顺利地形成的。

例2一手机经销商计划购进某品牌的A型、B型、C型三款手机共60部，每款手机至少要购进8部，且恰好用完预计的购机款61000元，设购进A型手机部，B型手机部，三款手机的进价和预售价如下表：

手机型号A型B型C型进价（单位：元/部）90012001100预售价（单位：元/部）120016001300

（1）用含，的式子表示购进C型手机的部数；
（2）求出与之间的函数关系式；
（3）假设所购进手机全部售出，综合考虑各种因素，该手机经销商在购进这批手机过程中需另外
支出各种费用共1500元。
①求出预估利润（元）与（部）的函数关系式；（注：预估利润=预售总额—购机款—各种费用）。
②求出预估利润的最大值，并写出此时购进三款手机各多少部？

【观察与思考】梳理本题的数量关系背景：
背景一：三款手机的进价和预售价（如题中的表所示）
背景二：购进A型、B型、C型三款手机共60部，即；
背景三：购进60部手机恰好用61000元，即；
对以上三方面的背景进一步研究，可知：
Ⅰ、对于问题（1），由背景二即可明确解答。

Ⅱ、对于问题（2），显然单由背景二不能解决，若将背景二和背景三相结合，则两个交量（和），在两个关系中（背景二和背景三所确定的两个等量关系），便相依存地联系在了一起，——这正是我们在函数部分指出的建立函数关系的第三条途径，——通过等式导出函数关系式。

Ⅲ、对于问题（3），有了问题（1）、（2）的解决，再根据背景三，可由“直接列式法”写出与的函数关系式进而解决最大利润问题。

解：（1）；
（2）由题意和（1）得：，
从中可导出：
（3）由①题意，得，
整理得
②购进C型手机部数为：，根据题意列不等式组得
，

解得

的范围为，且为整数，
是的一次函数，随的增大而增大。
当取最大值34时，P有最大值，最大值为17500元。
此时购进A型手机34部，B型手机18部，C型手机8部。

【说明】由本题可以看出，只有全面而深入地研究背景，把握每一背景的作用和互相结合的意义，才有助于正确而快速地获得问题的解决方法。

从背景的本质特征，背景的构成层次与相互关系诸方面将其研究透彻，是审题的根本任务，也是解法获得的基础。

2、研究“过程

有的题目的条件或背景的一部分表现为一种活动过程，而在题目的呈现中，这样的“过程”只是被描述出，或部分呈现出，其全部的意义和性质，大都隐含在“过程”之中，在此情况下，深入而全面地研究“过程”，便是解法获得的关键。

A
B

Ⅰ
例3如图，边长为1的等边三角形位于坐标系中的Ⅰ的位置，AB在轴上，点A与原点O重合，现将在轴上向右滑动地连续翻转，第次翻转后变换到的位置记为，则的坐标为。
【观察与思考】对于的连续翻转过程做如下的研究：
研究Ⅰ：在图上画出更多的后续过程，如图（1`）
研究Ⅱ：找出点的坐标在翻转过程中的变化规律，由（1`）可以看出：
（）当为整数，下同时，的坐标为）
（）当或2）