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洛必达法则
教学目的：使学生能够用洛必达法则求不定式极限。
教学重点：用洛必达法则求不定式极限。
教学过程
未定形：如下的函数极限都是未定形。
1、型：如：型：
2、型：如：
3、型：如：
4、型：如：
5、型：如：
6、型：如：
7、型：如：
它们的计算不能用函数极限的四则运算法则，且它们只表示类型，没有具体意义。
1．“”型不定式
定理（洛必达法则Ⅰ）设函数、满足：
（1）；
（2）在内，都存在，且；
（3）（）。
则
。
证明因为极限与f(a)及g(a)无关,所以可以假定f(a)g(a)0,于是由条件(1)、(2)知,f(x)及g(x)在点a的某一邻域内是连续的。设x是这邻域内的一点,那么在以x及a为端点的区间上,柯西中值定理的条件均满足,因此有
(在x与a之间).
令xa,并对上式两端求极限,注意到xa时a,再根据条件(3)便得要证明的结论。
说明此定理中的换成其它六种趋向过程仍成立。
此定理的证明，利用到上节我们学习的柯西中值定理，有兴趣读者可以试一下，在此略去。
下面通过几个例子熟悉洛必达法则的应用。
例，(b0).
例，.
例，.
例，.
2、求“”型未定式的极限.
定理（洛必达法则Ⅱ）设函数、满足：
（1）；
（2）在内，都存在，且；
（3）（）。
则。
说明同样此定理中的换成其它六种趋向过程仍成立。
例，.
例，(n为正整数,>0).
3.其它类型未定式0、、00、1、0都可以转化为或型未定式来计算.
（1）“”型
设，，则就构成了“”型不定式，它可以作如下转化：
=（型）；
或
=（型）。
例，。
谁放分子，谁放分母是有讲究的，例如
===¨,
就不能得到任何结果。
（2）“”型
这种形式的不定型可以通过通分等手段转化为型或型。
例，。
（3）“”型
它可以通过如下转化：
。
例，计算极限。
解：因为，而，
所以。
例，计算极限。
解：因为，而
，
所以。
例，计算极限。
解：。（）
注意：
（1）洛必达法则只能适用于“”和“”型的不定式，其它的不定式须先化简变形成“”或“”型才能运用该法则；
（2）只要条件具备，可以连续应用洛必达法则。连续多次使用罗比达法则时，每次都要检查是否满足定理条件。只有待定型才能用洛必达法则，否定会引导到荒谬的结果．例如
＝＝＝.
（极限不存在且不是待定型）
事实上＝＝1；
（3）洛必达法则的条件是充分的，但不必要。因此，在该法则失效时并不能断定原极限不存在。
例15求极限。
解它是一个型的不定式，运用洛必达法则，得
，
如此反复下去，并不能解得结果。改用其它方法，得
。
洛必达法则是求未定式的一种有效方法,但最好能与其它求极限的方法结合使用.例如能化简时应尽可能先化简,可以应用等价无穷小替代或重要极限时,应尽可能应用,这样可以使运算简捷.
例，.
例，求
解法1
（罗比达法则，无穷小代换）
（罗比达法则）
故
解法2
（无穷小代换）
（罗比达法则，无穷小代换）
故
最后,我们指出,本节定理给出的是求未定式的一种方法.当定理条件满足时,所求的极限当然存在（或为）,但定理条件不满足时,所求极限却不一定不存在.
例，求.
解:因为极限不存在,
所以不能用洛必达法则.
.
问题1下面的解法错在哪里？
因为，则
问题2下面的解法错在哪里？
因为，则

例，，且，。求。
解：
问题3以下解法对否？

求极限的方法小结:
（1）单调有界序列必有极限;（2）用夹逼定理;
（3）用极限运算法则（4）用函数的连续性;
（5）用两个重要极限;（6）无穷小乘有界函数仍是无穷小;
（7）等价无穷小替换（8）用洛必达法则;
补充例题:
例，lnalnbln.(a>0,b>0).
例，
.
例，
3.
例，xln2a2a.(a0).
例，求
解：设A,则lnA=lnx0,
于是e01.
例，()
.
注：用洛必达法则有时不能求结果，此时需用以前的方法。例求下列极限:
（1）==.
（2）=.