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S_4与A_5的所有CC—子群研究
S_4和A_5是两个具有特殊性质的群，它们在代数学中有着重要的地位。本文将探讨S_4和A_5的所有CC-子群，并研究它们的性质和结构。首先，我们将介绍一些基本的群论概念和定义。
群是一种代数结构，它由一个集合以及一个在该集合上定义的二元运算组成。群的定义要求该运算满足封闭性、结合律、存在单位元和逆元等性质。群论的研究对象是群的结构和性质。一个群可以有多个子群，子群是指一个群的子集，满足子集本身构成一个群。CC-子群是指一个群的中心化子群与中心子群相等的子群。
S_4是由四个元素的置换所构成的群，它包含了所有四个元素的排列。而A_5是S_5中所有元素的偶排列构成的一个子群。因此，它们都具有特殊的性质。
首先，我们来研究S_4的所有CC-子群。S_4的元素可以表示为四个元素的排列。我们可以通过计算每个置换的中心化子群来找到所有的中心子群。对于S_4来说，容易看出中心子群只包含单位元。因此，S_4的所有CC-子群就是它自身以及只包含单位元的子群。
接下来，我们来研究A_5的所有CC-子群。A_5是一个具有60个元素的群，它是S_5的一个子群。A_5中的元素可以表示为五个元素的偶排列。由于中心子群与中心化子群相等，我们可以通过计算每个元素的中心化子群来找到所有的中心子群。实际计算中我们可以使用Burnside引理来计算每个元素的中心化子群。
根据Burnside引理，如果一个置换的循环类型为k个循环，则它的中心化子群的阶数为k！。因为A_5的元素只包含偶排列，因此它的循环类型都是偶数。由于2的阶乘为2，3的阶乘为6，我们可以得到A_5的所有CC-子群的阶数只可能是1，2和6。
我们可以找到A_5中的三个阶数为1的CC-子群，它们分别是{e}，其中e表示单位元；{(12)(34)}，即两个循环的排列；和{(123),(124)}，即三个循环的排列。这三个子群都只包含单位元。
此外，A_5中存在两个阶数为2的CC-子群，它们分别是{(12)}和{(123)(45)}。这两个子群都包含单位元和一个非单位元的置换。
最后，我们找到了A_5中的一个阶数为6的CC-子群，它是由正五边形的旋转对称性生成的。
综上所述，S_4的所有CC-子群是它自身以及只包含单位元的子群；而A_5的所有CC-子群是{e}，{(12)(34)}，{(123),(124)}，{(12)}，{(123)(45)}和一个由正五边形的旋转对称性生成的子群，这个子群的阶数为6。
这个研究对于理解S_4和A_5的结构和性质有重要意义，也对于研究其他群的CC-子群有一定的启示作用。未来的研究可以进一步探讨S_4和A_5的其他性质，如共轭类、正规子群等，以及它们与其他群的关系。