创新设计（浙江专用）高考数学二轮复习 大题规范天天练 星期五 第三周 综合限时练-人教版高三全册数学试题.doc

星期五(综合限时练)
2017年____月____日
解答题综合练(设计意图：训练考生在规定时间内得高分，限时：80分钟)
1.(本小题满分14分)在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a＝bcosC＋eq\f(\r(3),3)csinB.
(1)若a＝2，b＝eq\r(7)，求c；
(2)若eq\r(3)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2A－\f(π,6)))－2sin2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(C－\f(π,12)))＝0，求A.
解(1)∵a＝bcosC＋eq\f(\r(3),3)csinB，
∴sinA＝sinBcosC＋eq\f(\r(3),3)sinCsinB，
∴cosBsinC＝eq\f(\r(3),3)sinCsinB，又sinC≠0，
∴tanB＝eq\r(3)，∵B∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，∴B＝eq\f(π,3).
∵b2＝a2＋c2－2accosB，∴c2－2c－3＝0，
∴c＝3，c＝－1(舍去).
(2)∵eq\r(3)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2A－\f(π,6)))－2sin2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(C－\f(π,12)))
＝eq\r(3)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2A－\f(π,6)))－1＋coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2C－\f(π,6)))
＝eq\r(3)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2A－\f(π,6)))＋coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4π,3)－2A－\f(π,6)))－1
＝eq\r(3)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2A－\f(π,6)))－coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2A－\f(π,6)))－1
＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2A－\f(π,3)))－1.
∴由2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2A－\f(π,3)))－1＝0，及eq\f(π,6)＜A＜eq\f(π,2)，可得A＝eq\f(π,4).
2.(本小题满分15分)甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语，在一轮活动中，如果两人都猜对，则“星队”得3分；如果只有一个人猜对，则“星队”得1分；如果两人都没猜对，则“星队”得0分.已知甲每轮猜对的概率是eq\f(3,4)，乙每轮猜对的概率是eq\f(2,3)；每轮活动中甲、乙猜对与否互不影响，各轮结果亦互不影响.假设“星队”参加两轮活动，求：
(1)“星队”至少猜对3个成语的概率；
(2)“星队”两轮得分之和X的分布列和数学期望E(X).
解(1)记事件A：“甲第一轮猜对”，记事件B：“乙第一轮猜对”，
记事件C：“甲第二轮猜对”，记事件D：“乙第二轮猜对”，
记事件E：“‘星队’至少猜对3个成语”.
由题意，E＝ABCD＋ABCD＋ABCD＋ABCD＋ABCD.
由事件的独立性与互斥性，
P(E)＝P(ABCD)＋P(ABCD)＋P(ABCD)＋
P(ABCD)＋P(ABCD)
＝P(A)P(B)P(C)P(D)＋P(A)P(B)P(C)P(D)＋
P(A)P(B)P(C)P(D)＋P(A)P(B)P(C)P(D)＋
P(A)P(B)P(C)P(D)
＝eq\f(3,4)×eq\f(2,3)×eq\f(3,4)×eq\f(2,3)＋2×eq\b\lc\((\a\vs4\al\co1(\f(1,4)×\f(2,3)×\f(3,4)×\f(2,3)＋\f(3,4)×\f(1,3)))eq\b\lc\\rc\)(\a\vs4\al\co1(×\f(3,4)×\f(2,3)))＝eq\f(2,3).
所以“星队”至少猜对3个成语的概率为eq\f(2,3).

(2)由题意，随机变量X可能的取值为0，1，2，3，4，6.由事件的独立性与互斥性，得
P(X＝0)＝eq\f(1,4)×eq\f(1,3)×eq\f(1,4)×eq\f(1,3)＝eq\f(1,144)，
P(X＝1)＝2×