创新设计（浙江专用）高考数学二轮复习 专题五 解析几何 第2讲 直线与圆锥曲线的位置关系练习-人教版高三全册数学试题.doc

专题五解析几何第2讲直线与圆锥曲线的位置关系练习
一、选择题
1.(2014·全国Ⅰ卷)已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点.若eq\o(FP,\s\up6(→))＝4eq\o(FQ,\s\up6(→))，则|QF|等于()
A.eq\f(7,2) B.eq\f(5,2)
C.3 D.2

解析过点Q作QQ′⊥l交l于点Q′，
因为eq\o(FP,\s\up6(→))＝4eq\o(FQ,\s\up6(→))，所以|PQ|∶|PF|＝3∶4，
又焦点F到准线l的距离为4，
所以|QF|＝|QQ′|＝3.
答案C
2.(2015·四川卷)过双曲线x2－eq\f(y2,3)＝1的右焦点且与x轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于A，B两点，则|AB|等于()
A.eq\f(4\r(3),3) B.2eq\r(3)
C.6 D.4eq\r(3)
解析右焦点F(2，0)，过F与x轴垂直的直线为x＝2，渐近线方程为x2－eq\f(y2,3)＝0，将x＝2代入渐近线方程得y2＝12，∴y＝±2eq\r(3)，∴A(2，2eq\r(3))，B(2，－2eq\r(3))，∴|AB|＝4eq\r(3).
答案D
3.已知A，B，P是双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1上不同的三点，且A，B连线经过坐标原点，若直线PA，PB的斜率乘积kPA·kPB＝eq\f(2,3)，则该双曲线的离心率为()
A.eq\f(\r(5),2) B.eq\f(\r(6),2)
C.eq\r(2) D.eq\f(\r(15),3)
解析设A(x1，y1)，P(x2，y2)，根据对称性，B(－x1，－y1)，因为A，P在双曲线上，
所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(xeq\o\al(2,1),a2)－\f(yeq\o\al(2,1),b2)＝1，,\f(xeq\o\al(2,2),a2)－\f(yeq\o\al(2,2),b2)＝1，))两式相减，得kPAkPB＝eq\f(b2,a2)＝eq\f(2,3)，
所以e2＝eq\f(a2＋b2,a2)＝eq\f(5,3)，
故e＝eq\f(\r(15),3).
答案D
4.(2014·全国Ⅱ卷)设F为抛物线C：y2＝3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为()
A.eq\f(3\r(3),4) B.eq\f(9\r(3),8)
C.eq\f(63,32) D.eq\f(9,4)
解析易知抛物线中p＝eq\f(3,2)，
焦点Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)，0))，直线AB的斜率k＝eq\f(\r(3),3)，故直线AB的方程为y＝eq\f(\r(3),3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(3,4)))，代入抛物线方程y2＝3x，整理得x2－eq\f(21,2)x＋eq\f(9,16)＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝eq\f(21,2).由抛物线的定义可得弦长|AB|＝x1＋x2＋p＝eq\f(21,2)＋eq\f(3,2)＝12，结合图象可得O到直线AB的距离d＝eq\f(p,2)sin30°＝eq\f(3,8)，所以△OAB的面积S＝eq\f(1,2)|AB|·d＝eq\f(9,4).
答案D
5.(2017·湖州一模)已知抛物线y2＝4px(p＞0)与双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)有相同的焦点F，点A是两曲线的交点，且AF⊥x轴，则双曲线的离心率为()
A.eq\f(\r(5)＋1,2) B.eq\r(2)＋1
C.eq\r(3)＋1 D.eq\f(2\r(2)＋1,2)
解析依题意，得F(p，0)，因为AF⊥x轴，设A(p，y)，y>0，y2＝4p2，所以y＝2p.所以A(p，2p).又点A在双曲线上，所以eq\f(p2,a2)－eq\f(4p2,b2)＝1.又因为c＝p，所以eq\f(c2,a2)－eq\f(4c2,c2－a2)＝1，化简，得c4－6a2c2＋a4＝0，即eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(c,a)))eq\s\u