【拿高分，选好题第二波】（新课程）高中数学二轮复习 精选第一部分 25个必考问题 专项突破专题训练21二项式定理及数学归纳法 苏教版.doc

训练21二项式定理及数学归纳法
(参考时间：80分钟)
1．已知(1－2x)7＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a7x7，求
(1)a1＋a2＋…＋a7；
(2)a0＋a2＋a4＋a6；
(3)a1＋a3＋a5＋a7.
2．求证：1＋2＋22＋…＋25n－1能被31整除．
3．已知eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(x)＋\f(1,\r(3,x))))n的展开式的二项式系数之和比(a＋b)2n的展开式的系数之和小240，求eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(x)＋\f(1,\r(3,x))))n的展开式中系数最大的项．
4．已知(1＋x)n＝a0＋a1(x－1)＋a2(x－1)2＋…＋an(x－1)n.(n∈N*)．
(1)求a0及Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an；
(2)试比较Sn与(n－2)2n＋2n2的大小，并说明理由．
5.如图，P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，…，Pn(xn，yn)
(0＜y1＜y2＜…＜yn)是曲线C：y2＝3x(y≥0)上的
n个点，点Ai(ai,0)(i＝1,2,3，…，n)在x轴的正半
轴上，且△Ai－1AiPi是正三角形(A0是坐标原点)．
(1)写出a1，a2，a3；
(2)求出点An(an,0)(n∈N*)的横坐标an关于n的表达式．
6．对于定义域为A的函数f(x)，如果任意的x1，x2∈A，当x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2)，则称函数f(x)是A上的严格增函数；函数f(k)是定义在N*上，函数值也在N*中的严格增函数，并且满足条件f(f(k))＝3k.
(1)证明：f(3k)＝3f(k)；
(2)求f(3k－1)(k∈N*)的值；
(3)是否存在p个连续的自然数，使得它们的函数值依次也是连续的自然数；若存在，找出所有的p值，若不存在，请说明理由．
参考答案
训练21二项式定理及数学归纳法
1．解(1)∵(1－2x)7＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a7x7，
令x＝1，得
a0＋a1＋a2＋…＋a7＝－1.
令x＝0得a0＝1.
∴a1＋a2＋…＋a7＝－2.
(2)令x＝－1，得
a0－a1＋a2－a3＋…＋a6－a7＝37＝2187.
由(1)和上式得a0＋a2＋a4＋a6＝1093.
(3)由a0＋a1＋a2＋…＋a7＝－1和a0－a1＋a2－a3＋…＋a6－a7＝2187
两式相减得a1＋a3＋a5＋a7＝－1094.
2．证明1＋2＋…＋25n－1＝eq\f(25n－1,2－1)
＝32n－1＝(31＋1)n－1
＝31n＋Ceq\o\al(1,n)·31n－1＋…＋Ceq\o\al(n－1,n)·31＋Ceq\o\al(n,n)－1
＝31n＋Ceq\o\al(1,n)·31n－1＋…＋Ceq\o\al(n－1,n)·31
＝31·(31n－1＋Ceq\o\al(1,n)·31n－2＋…＋Ceq\o\al(n－1,n))，
∵31n－1，Ceq\o\al(1,n)·31n－2，…，Ceq\o\al(n－1,n)都是整数，
∴原式可被31整除．
3．解由题意，得2n＝22n－240，
∴22n－2n－240＝0，即(2n－16)(2n＋15)＝0.
又∵2n＋15＞0，∴2n－16＝0.
∴n＝4.∴eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(x)＋\f(1,\r(3,x))))n＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(x)＋\f(1,\r(3,x))))4.
又∵eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(x)＋\f(1,\r(3,x))))4的展开式中二项式系数最大的项为第3项，所以，所求eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(x)＋\f(1,\r(3,x))))4展开式中系数最大的项为第3项，即T3＝
Ceq\o\al(2,4)(eq\r(x))2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,\r(3,x))))2＝6eq\r(3,x).
4．解(1)取x＝1，则a0＝2n；
取x＝2，则a0＋a1＋a2＋a3＋…＋an＝3n，
所以Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an＝3n－2n.
(2)要比较Sn与(n－2)2n＋2n2的大小，
即比较：3n与(n－1)2n＋2n2的大小．
当n＝1时，3n＞(n－1)2n＋2n2；
当n＝2,3时，3n＜(n－1)2n＋2n2；
当n＝4,5时，3n＞(n－1)2n＋2n2.
猜想：当n≥4时，3n＞(n－1)2n＋2n2，