7.3 复数的三角表示-高一数学考点讲解练(人教A版2019必修第二册).pdf

7.3复数的三角表示

考点讲解

考点1：复数的代数形式与三角形式的互化

角度一代数形式化为三角形式

【例1】把下列复数的代数形式化成三角形式：

(1)3＋i；

(2)2－2i.

【解析】(1)r＝3＋1＝2，因为3＋i对应的点在第一象限，

3π
所以＝，即＝，
cosθ2θ6

ππ
所以＋＝cos＋
3i26isin6.

2
(2)r＝2＋2＝2，cosθ＝，
2

又因为2－2i对应的点位于第四象限，

7π
所以＝.
θ4

7π7π
所以－＝cos＋
22i24isin4.

【方法技巧】

复数的代数形式化为三角形式的步骤

1先求复数的模.

2决定辐角所在的象限.

3根据象限求出辐角.
4求出复数的三角形式.

角度二三角形式化为代数形式

【例2】分别指出下列复数的模和辐角的主值，并把这些复数表示成代数形式．

ππ
cos＋；
(1)46isin6

3
(2)(cos60°＋isin60°)；
2

ππ
cos－
(3)23isin3.

πππ
【解析】复数cos＋isin的模＝，辐角的主值为＝.
(1)466r4θ6

ππππ
4cos＋isin＝＋
664cos64isin6

31
＝＋i
4×24×2

＝23＋2i.

33
(2)(cos60°＋isin60°)的模r＝，辐角的主值为＝
22θ60°.

33133
(cos60°＋isin60°)＝×＋×i
22222

33
＝＋i.
44

ππ
cos－
(3)23isin3

ππ
＝2π－＋2π－
2cos3isin3

55
＝cosπ＋isinπ
233.

5
所以复数的模＝，辐角的主值为π.
r23
5555
2cosπ＋isinπ＝2cosπ＋2isinπ
3333

13
＝2×＋2×－i.
22

＝1－3i.

【方法技巧】

复数的三角形式z＝rcosθ＋isinθ必须满足“模非负、余正弦、＋相连、角统一、i跟sin”，否则就
不是三角形式，只有化为三角形式才能确定其模和辐角，如本例3.

【针对训练】

1．下列复数是不是复数的三角形式？如果不是，把它们表示成三角形式．

1ππ
(1)cos－isin；
244

1ππ
(2)－cos＋isin；
233

13π3π
(3)sin＋icos；
244

7π7π
(4)cos＋；
5isin5

1ππ
(5)cos＋isin.
226

【解析】根据复数三角形式的定义可知，(1)、(2)、(3)、(5)不是，(4)是复数的三角形式．

1ππ
(1)原式＝cos－＋－.
24isin4

1ππ
(2)原式＝cosπ＋＋π＋
23isin3

14π4π
＝cos＋isin.
233

1π3ππ3π
(3)原式＝cos－＋－
224isin24

1ππ
＝cos－＋－.
24isin4
1ππ
(5)原式＝cos＋isin.
422

考点2：复数三角形式的乘、除运算

【例3】计算：

4455
cosπ＋isinπcosπ＋isinπ；
(1)833×466

(2)3(cos225°＋isin225°)÷[2(cos150°＋isin150°)]；

ππ
cos＋
(3)4÷4isin4.

4455
【解析】cosπ＋isinπcosπ＋isinπ
(1)833×466

4545
＝π＋π＋π＋π
32cos36isin36

1313ππ
＝cosπ＋isinπ＝cos＋
3266326isin6

31
＝32＋i＝163＋16i.
22

(2)3(cos225°＋isin225°)÷[2(cos150°＋isin150°)]

3
＝[cos(225°－150°)＋isin(225°－150°)]
2

666－26＋2
＝(cos75°＋isin75°)＝＋i
2244

6－236＋233－33＋3
＝＋i＝＋i.
8844

ππ
cos＋
(3)4÷4isin4

ππ
＝＋cos＋
4(cos0isin0)÷4isin4

ππ
＝－＋－
4cos4isin4

＝22－22i.
【方法技巧】

1．乘法法则：模相乘，辐角相加．

2．除法法则：模相除，辐角相减．

3．复数的n次幂，等于模的n次幂