高二数学曲线和方程人教版（文）知识精讲.doc

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高二数学曲线和方程人教版（文）
【本讲教育信息】
一.教学内容：
曲线和方程

二.本周教学重、难点：
1.重点：曲线的点集与方程的解集之间的对应关系。
2.难点：求曲线的方程和曲线的交点。

【典型例题】
[例1]作出方程的曲线。
解：∵
把换成，方程不变∴图象关于轴对称
当时，
可分段作出方程的图象，如下图

[例2]用坐标法证明：平面内任意一点到矩形的一对对角顶点的距离平方和等于这个点到另一对对角顶点的距离平方和。
证明：如图所示，取坐标轴和矩形边平行建立坐标系，设P（）为任意点，矩形四个顶点为A（），C（），B（），D（）则有

∴

[例3]过点P（2，4）作两条互相垂直的直线、，若交轴于A点，交轴于B点，求线段AB的中点M的轨迹方程。
解法一：设点M的坐标为（）
∵M为线段AB的中点
∴A的坐标为（），B的坐标为（）
∵，且、过点P（2，4）
∴PA⊥PB，，而，
∴整理，得（）
∵当时，A、B的坐标分别为（2，0）（0，4）
∴线段AB的中点坐标是（1，2），它满足方程
综上所述，点M的轨迹方程是

解法二：设M的坐标为（），则A、B两点的坐标分别是（）、（0，），连结PM。
∵∴
而
∴
化简，得为所求轨迹方程。

解法三：∵，OA⊥OB
∴O、A、P、B四点共圆，且该圆的圆心为M
∴
∴点M的轨迹为线段OP的中垂线
∵，OP的中点坐标为（1，2）
∴点M的轨迹方程是，即

[例4]若抛物线与直线相交于不同的两点A、B，（1）求的取值范围；（2）求；（3）求线段AB的中点坐标。
解：由得
（1）∵直线与抛物线有两个相异的交点，∴，
（2）设A（）、B（），由根与系数的关系得，

（3）设线段AB的中点坐标为（）
则有，
即线段AB的中点坐标为（）

[例5]已知点P（）在曲线上，P也在曲线上，求证：P在曲线上（）。
证明：∵点P在曲线上也在曲线上
∴，
∴
即P点在曲线上

[例6]求经过两曲线①和②交点的直线方程。
解：①②：

[例7]是否存在实数，使曲线与有且只有三个交点。
解：有三组解：
∴有一正根一零根
∴∴∴

[例8]设为非零实数，证明曲线恒过两定点。
证明：
∴∴或∴恒过两定点（）（）

[例9]已知线段AB的长为，点P分线段AB为两部分，当点A在轴上移动时，B在轴上移动，求动点P的轨迹方程。
解：设点P（）、A（）、B（，0）
由定比分点公式有，
则有，
∵∴代入得
即为所求动点P的轨迹方程。

[例10]两条直线、分别过点A（）、B（）（为常数），且分别绕A、B旋转，它们分别交轴于C（）、D（）（为参数），若，求两直线交点P的轨迹方程。
解：设P（）
直线的方程是①
直线的方程是②
∵P是直线、的交点，∴、应是方程①、②构成的方程组的解。
由①，得③
由②，得④
③×④，得
∵，代入上式，化简整理得为所求点P的轨迹方程。

【模拟试题】（答题时间：60分钟）
一.选择：
1.下面各对方程中，表示相同曲线的一对方程是（）
A.与
B.与
C.与
D.与
2.方程的曲线是（）
A.一个点B.一条直线C.两条直线D.一个点和一条直线
3.若点M到两坐标轴的距离的积为2004，则点M的轨迹方程是（）
A.B.C.D.
4.两曲线，的交点个数是（）
A.1B.2C.3D.4
5.到直线的距离为1的点的轨迹方程为（）
A.和
B.和
C.和
D.和
6.方程表示的图形是（）
A.直线
B.直线
C.直线或直线
D.直线和直线
7.动点P到点（）的距离为3，则动点P的轨迹方程是（）
A.
B.
C.
D.
8.直线被曲线截得的线段长为（）
A.B.C.D.

二.填空：
1.点M到轴的距离是它到轴的距离的2倍，则点M的轨迹方程是。
2.设A、B两点的坐标是（）、（），若动点M满足，则动点M的轨迹方程是。
3.动点M（）到定点（1，1）的距离与M到定直线的距离相等。则动点M的轨迹方程是。
4.线段AB的长度是10，它的两个端点分别在轴、轴上滑动，则AB中点P的轨迹方程是。

三.解答：
1.已知点M到点F（0，1）和直线：的距离相等，求点M的轨迹方程。
2.已知两点P（）、Q（0，2）以及一条直线：，设长为的线段AB在直线上移动，求直线PA和QB的交点M的轨迹方程。
3.若点M（）在曲线上，求
的值。
4.已知直线：，曲线C：有两个公共点，求的取值范围。

试题答案
一.
1.C2.C3.C4.B5.A6.C7.B8.D

二.
1.或
2.（）
3.
4.

三.
1.解：设点M的坐标为（），点M的轨迹就是集合，其中Q是点M到直线的垂线的垂足。由两点间距离公式及点到直线的距离公式得：
，将上式两边平方得
化简得

2.解：∵线段AB在直线：上，且线段AB的长为
∴设M（），A