高考数学大一轮复习 3.2导数与函数的单调性、极值、最值教师用书 理 苏教版-苏教版高三全册数学试题.doc

§3.2导数与函数的单调性、极值、最值

1．函数的单调性
在某个区间(a，b)内，如果f′(x)>0，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递增；如果f′(x)<0，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递减．
2．函数的极值
(1)判断f(x0)是极值的方法：
一般地，当函数f(x)在点x0处连续时，
①如果在x0附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，那么f(x0)是极大值；
②如果在x0附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，那么f(x0)是极小值．
(2)求可导函数极值的步骤：
①求f′(x)；
②求方程f′(x)＝0的根；
③检查f′(x)在方程f′(x)＝0的根附近的左右两侧导数值的符号．如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值．
3．函数的最值
(1)在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值．
(2)若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在[a，b]上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值．
(3)设函数f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，求f(x)在[a，b]上的最大值和最小值的步骤如下：
①求f(x)在(a，b)内的极值；
②将f(x)的各极值与f(a)，f(b)进行比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．
【思考辨析】
判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)若函数f(x)在(a，b)内单调递增，那么一定有f′(x)>0.(×)
(2)如果函数f(x)在某个区间内恒有f′(x)＝0，则f(x)在此区间内没有单调性．(√)
(3)函数的极大值不一定比极小值大．(√)
(4)对可导函数f(x)，f′(x0)＝0是x0点为极值点的充要条件．(×)
(5)函数的最大值不一定是极大值，函数的最小值也不一定是极小值．(√)
(6)函数f(x)＝xsinx有无数个极值点．(√)

1．函数f(x)＝x2－2lnx的单调减区间是________．
答案(0,1)
解析∵f′(x)＝2x－eq\f(2,x)＝eq\f(2x＋1x－1,x)(x>0)．
∴当x∈(0,1)时，f′(x)<0，f(x)为减函数；
当x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)为增函数．
2．(2013·浙江改编)已知e为自然对数的底数，设函数f(x)＝(ex－1)(x－1)k(k＝1,2)，则下列命题正确的是________．
①当k＝1时，f(x)在x＝1处取到极小值；
②当k＝1时，f(x)在x＝1处取到极大值；
③当k＝2时，f(x)在x＝1处取到极小值；
④当k＝2时，f(x)在x＝1处取到极大值．
答案③
解析当k＝1时，f′(x)＝ex·x－1，f′(1)≠0，
∴x＝1不是f(x)的极值点．
当k＝2时，f′(x)＝(x－1)(xex＋ex－2)，
显然f′(1)＝0，且x在1附近的左边f′(x)<0，
x在1附近的右边f′(x)>0，
∴f(x)在x＝1处取到极小值．故只有③正确．
3．函数f(x)的定义域为R，f(－1)＝2，对任意x∈R，f′(x)>2，则f(x)>2x＋4的解集为________．
答案(－1，＋∞)
解析设m(x)＝f(x)－(2x＋4)，
∵m′(x)＝f′(x)－2>0，
∴m(x)在R上是增函数．
∵m(－1)＝f(－1)－(－2＋4)＝0，
∴m(x)>0的解集为{x|x>－1}，
即f(x)>2x＋4的解集为(－1，＋∞)．
4．设1<x<2，则eq\f(lnx,x)，(eq\f(lnx,x))2，eq\f(lnx2,x2)的大小关系是__________________．(用“<”连接)
答案(eq\f(lnx,x))2<eq\f(lnx,x)<eq\f(lnx2,x2)
解析令f(x)＝x－lnx(1<x<2)，
则f′(x)＝1－eq\f(1,x)＝eq\f(x－1,x)>0，
∴函数y＝f(x)(1<x<2)为增函数，
∴f(x)>f(1)＝1>0，∴x>lnx>0⇒0<eq\f(lnx,x)<1，
∴(eq\f(lnx,x))2<eq\f(lnx,x).
又eq\f(lnx2,x2)－eq\f(lnx,x)＝eq\f(2lnx－xlnx,x2)＝eq\f(2－xlnx,x2)>0，
∴(eq\f(lnx,x))2<eq\f(lnx,x)<eq\f(lnx2,x2).

题型一利用导数研究函数的单调性
例1已知函数f(x)＝ex－ax－1.
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