高中数学 313空间向量基本定理课时作业 苏教版选修2-1 试题.doc

3.1.3空间向量基本定理
课时目标1.掌握空间向量基本定理.2.能正确选择合适基底，并正确表示空间向量．

1．空间向量基本定理
如果三个向量e1，e2，e3不共面，那么对空间任一向量p，存在惟一的有序实数组(x，y，z)，使得______________________．
由此可知，如果三个向量e1，e2，e3不共面，那么空间的每一个向量组成的集合就是________________________________．这个集合可看作是由向量e1，e2，e3生成的，我们把__________叫做空间的一个基底，____________都叫做基向量．空间任何三个不共面的向量都可构成空间的一个基底．
2．正交基底与单位正交基底
如果空间一个基底的三个基向量是______________，那么这个基底叫做正交基底，当一个正交基底的三个基向量都是______________时，称这个基底为单位正交基底，通常用____________表示．
3．推论
设O，A，B，C是__________的四点，则对空间任意一点P，都存在惟一的有序实数组(x，y，z)，使得______________________．

一、填空题
1．若存在实数x、y、z，使eq\o(OP,\s\up6(→))＝xeq\o(OA,\s\up6(→))＋yeq\o(OB,\s\up6(→))＋zeq\o(OC,\s\up6(→))成立，则下列判断正确的是________．(写出正确的序号)
①对于某些x、y、z的值，向量组{eq\o(PA,\s\up6(→))，eq\o(PB,\s\up6(→))，eq\o(PC,\s\up6(→))}不能作为空间的一个基底；
②对于任意的x、y、z的值，向量组{eq\o(PA,\s\up6(→))，eq\o(PB,\s\up6(→))，eq\o(PC,\s\up6(→))}都不能作为空间的一个基底；
③对于任意的x、y、z的值，向量组{eq\o(PA,\s\up6(→))，eq\o(PB,\s\up6(→))，eq\o(PC,\s\up6(→))}都能作为空间的一个基底；
④根据已知条件，无法作出相应的判断．
2.设O-ABC是四面体，G1是△ABC的重心，G是OG1上的一点，且eq\o(OG,\s\up6(→))＝xeq\o(OA,\s\up6(→))＋yeq\o(OB,\s\up6(→))＋zeq\o(OC,\s\up6(→))，则(x，y，z)为____________．
3．在以下3个命题中，真命题的个数是________．
①三个非零向量a，b，c不能构成空间的一个基底，则a，b，c共面；
②若两个非零向量a，b与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则a，b共线；
③若a，b是两个不共线向量，而c＝λa＋μb(λ，μ∈R且λμ≠0)，则{a，b，c}构成空间的一个基底．
4．若{a，b，c}是空间的一个基底，则下列各组中能构成空间一个基底的是________．(写出符合要求的序号)
①a,2b,3c；
②a＋b，b＋c，c＋a；
③a＋2b,2b＋3c,3a－9c；
④a＋b＋c，b，c.
5．已知点A在基底{a，b，c}下的坐标为(8,6,4)，其中a＝i＋j，b＝j＋k，c＝k＋i，则点A在基底{i，j，k}下的坐标是______________．
6．下列结论中，正确的是________．(写出所有正确的序号)
①若a、b、c共面，则存在实数x，y，使a＝xb＋yc；
②若a、b、c不共面，则不存在实数x，y，使a＝xb＋yc；
③若a、b、c共面，b、c不共线，则存在实数x，y，使a＝xb＋yc；
④若a＝xb＋yc，则a、b、c共面．
7.如图所示，空间四边形OABC中，eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，eq\o(OC,\s\up6(→))＝c，点M在OA上且OM＝MA，BN＝eq\f(1,2)NC，则eq\o(MN,\s\up6(→))＝__________________.
8．命题：①若a与b共线，b与c共线，则a与c共线；②向量a、b、c共面，则它们所在的直线也共面；③若a与b共线，则存在惟一的实数λ，使b＝λa.上述命题中的真命题的个数是________．
二、解答题
9．已知向量{a，b，c}是空间的一个基底，那么向量a＋b，b＋c，c＋a能构成空间的一个基底吗？为什么？

10.

如图所示，在长方体ABCD—A1B1C1D1中，O为AC的中点．
（1）化简：eq\o(A1O,\s\up6