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梅涅劳斯定理

知识定位
使用HYPERLINK"http://baike.baidu.com/view/1271856.htm"\t"_blank"梅涅劳斯定理可以进行HYPERLINK"http://baike.baidu.com/item/%E7%9B%B4%E7%BA%BF%E5%BD%A2"\t"_blank"直线形中线段长度比例的计算，其HYPERLINK"http://baike.baidu.com/view/550833.htm"\t"_blank"逆定理还可以用来解决HYPERLINK"http://baike.baidu.com/view/1042024.htm"\t"_blank"三点共线、三线共点等问题的判定方法，是HYPERLINK"http://baike.baidu.com/view/441795.htm"\t"_blank"平面几何学以及HYPERLINK"http://baike.baidu.com/view/44618.htm"\t"_blank"射影几何学中的一项基本定理，具有重要的作用．本讲将通过例题来说明这些方法的运用。
知识梳理
梅涅劳斯定理
如果一条直线与的三边、、或其延长线交于、、点，那么．这条直线叫的梅氏线，叫梅氏三角形．
说明：（1）不过顶点的直线与三角形3边的关系有两种情况：
若直线与三角形的一边交于内点，则必与第二边交于内点，与第三边交于外点（延长线上的点）；
②直线与三角形的三边均交于外点，因而本定理的图形有两个.
（2）定理的结构是：三角形三边上6条被截线段的比，首尾相连，组成一个比值为1的等式.
（3）这个定理反映了形与数的转化，是几何位置的定量描述：“三点共线”量化为比值等于“1”；反过来，若比值等于“1”成立时，可证“三点共线”（逆定理也成立）.
记忆：.
如图1-1，若一直线与的三边、、或其延长线交于、、点．求证：

证法一：如图1-2，过作∥
∵，
∴
证法二：如图1-3，过作交的延长线于
∴，，
三式相乘即得：．
梅涅劳斯定理的逆定理
若、、分别是的三边、、或其延长线的三点，如果，则、、三点共线．
角元形式的梅涅劳斯定理
如果一直线顺次与三角形ABC的三边BC、AC、AB或其延长线交于D、E、F三点，则三点DEF共线等价于.

例题精讲

【题目】若的的外角平分线交边延长线于，的平分线交边于，的平分线交边于，则、、三点共线

【答案】如下解析
【解析】证明：由三角形内、外角平分线定理知，
，，，
则，
故、、三点共线。
【知识点】梅涅劳斯定理
【适用场合】当堂例题
【难度系数】3

【题目】过任意的三个顶点、、作它的外接圆的切线，分别和、、的延长线交于点、、，则、、三点共线

【答案】如下解析
【解析】证明：∵是⊙的切线，
∴∽，
∴，
则，
同理：，
∴，
故、、三点共线
【知识点】梅涅劳斯定理
【适用场合】当堂练习
【难度系数】3

【题目】已知：过顶点的直线，与边及中线分别交于点和.求证：.

【答案】如下解析
【解析】证明：直线截，
由梅涅劳斯定理，
得：
又，
∴，
则
【知识点】梅涅劳斯定理
【适用场合】当堂例题
【难度系数】3

【题目】已知：过重心的直线分别交边、及延长线于点、、.求证：.

【答案】如下解析
【解析】证明：连接并延长交于，
则，
∵截，
∴由梅氏定理得，；
同理：
∴，，
∴
即
【知识点】梅涅劳斯定理
【适用场合】当堂练习题
【难度系数】4

【题目】ABCD是一个平行四边形，E是AB上的一点，F为CD上的一点。AF交ED于G，EC交FB于H。连接线段GH并延长交AD于L，交BC于M。求证：DL=BM.

【答案】如下解析
【解析】证明：如图，设直线LM与BA的延长线交于点J，与DC的延长线交于点I。
在△ECD与△FAB中分别使用梅涅劳斯定理，得
，
.
因为AB//CD，
所以，.
从而，即，
故CI=AJ.
而，
且BM+MC=BC=AD=AL+LD.
所以BM=DL
【知识点】梅涅劳斯定理
【适用场合】当堂例题
【难度系数】4

【题目】若直角∆ABC中，CK是斜边上的高，CE是∠ACK的平分线，E点在AK上，D是AC的中点，F是DE与CK的交点，证明：BF∥CE。

【答案】如下解析
【解析】证明：因为在∆EBC中，作∠B的平分线BH，
则：∠EBC=∠ACK，∠HBC=∠ACE，
∠HBC+∠HCB=∠ACK+∠HCB=90°，
即BH⊥CE，
所以∆EBC为等腰三角形，
作BC上的高EP，则：CK=EP，对于∆ACK和三点D、E、