新（全国甲卷）高考数学大二轮总复习与增分策略 专题二 函数与导数 第3讲 导数及其应用练习 理-人教版高三全册数学试题.doc

第3讲导数及其应用

1．(2016·四川)已知a为函数f(x)＝x3－12x的极小值点，则a等于()
A．－4B．－2C．4D．2
答案D
解析∵f(x)＝x3－12x，∴f′(x)＝3x2－12，
令f′(x)＝0，则x1＝－2，x2＝2.
当x∈(－∞，－2)，(2，＋∞)时，f′(x)>0，则f(x)单调递增；
当x∈(－2,2)时，f′(x)<0，则f(x)单调递减，∴f(x)的极小值点为a＝2.
2．(2016·课标全国乙)若函数f(x)＝x－eq\f(1,3)sin2x＋asinx在(－∞，＋∞)上单调递增，则a的取值范围是()
A．[－1,1] B.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－1，\f(1,3)))
C.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)，\f(1,3))) D.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－1，－\f(1,3)))
答案C
解析方法一(特殊值法)：不妨取a＝－1，
则f(x)＝x－eq\f(1,3)sin2x－sinx，
f′(x)＝1－eq\f(2,3)cos2x－cosx，但f′(0)＝1－eq\f(2,3)－1＝－eq\f(2,3)<0，不具备在(－∞，＋∞)单调递增，排除A，B，D.故选C.
方法二(综合法)：∵函数f(x)＝x－eq\f(1,3)sin2x＋asinx在(－∞，＋∞)单调递增，
∴f′(x)＝1－eq\f(2,3)cos2x＋acosx
＝1－eq\f(2,3)(2cos2x－1)＋acosx
＝－eq\f(4,3)cos2x＋acosx＋eq\f(5,3)≥0，即acosx≥eq\f(4,3)cos2x－eq\f(5,3)在(－∞，＋∞)恒成立．
当cosx＝0时，恒有0≥－eq\f(5,3)，得a∈R；
当0<cosx≤1时，得a≥eq\f(4,3)cosx－eq\f(5,3cosx)，令t＝cosx，f(t)＝eq\f(4,3)t－eq\f(5,3t)在(0,1]上为增函数，得a≥f(1)＝－eq\f(1,3)；
当－1≤cosx<0时，得a≤eq\f(4,3)cosx－eq\f(5,3cosx)，令t＝cosx，f(t)＝eq\f(4,3)t－eq\f(5,3t)在[－1,0)上为增函数，得a≤f(－1)＝eq\f(1,3).综上，可得a的取值范围是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)，\f(1,3)))，故选C.
3．(2016·山东)若函数y＝f(x)的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称y＝f(x)具有T性质．下列函数中具有T性质的是()
A．y＝sinx B．y＝lnx
C．y＝ex D．y＝x3
答案A
解析对函数y＝sinx求导，得y′＝cosx，当x＝0时，该点处切线l1的斜率k1＝1，当x＝π时，该点处切线l2的斜率k2＝－1，∴k1·k2＝－1，∴l1⊥l2；对函数y＝lnx求导，得y′＝eq\f(1,x)恒大于0，斜率之积不可能为－1；对函数y＝ex求导，得y′＝ex恒大于0，斜率之积不可能为－1；对函数y＝x3，得y′＝2x2恒大于等于0，斜率之积不可能为－1.故选A.
4．(2016·天津)已知函数f(x)＝(2x＋1)ex，f′(x)为f(x)的导函数，则f′(0)的值为________．
答案3
解析因为f(x)＝(2x＋1)ex，
所以f′(x)＝2ex＋(2x＋1)ex＝(2x＋3)ex，
所以f′(0)＝3e0＝3.

1.导数的意义和运算是导数应用的基础，是高考的一个热点.
2.利用导数解决函数的单调性与极值最值问题是高考的常见题型.
3.导数与函数零点，不等式的结合常作为高考压轴题出现.

热点一导数的几何意义

1．函数f(x)在x0处的导数是曲线f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率，曲线f(x)在点P处的切线的斜率k＝f′(x0)，相应的切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．
2．求曲线的切线要注意“过点P的切线”与“在点P处的切线”的不同．
例1(1)(2016·课标全国甲)若直线y＝kx＋b是曲线y＝lnx＋2的切线，也是曲线y＝ln(x＋1)的切线，则b＝________.
(2)已知f(x)＝x3－2x2＋x＋6，则f(x)在点P(－1,2)处的切线与坐标轴围成的三角形的面积等于()
A．4 B．5
C.eq\f(25,4) D.eq\f(13,2)
答案(