创新设计（浙江专用）高考数学二轮复习 大题规范天天练 星期五 第四周 综合限时练-人教版高三全册数学试题.doc

星期五(综合限时练)
2017年____月____日
解答题综合练(设计意图：训练考生在规定时间内得高分，限时：80分钟)
1.(本小题满分14分)在公比为2的等比数列{an}中，a2与a5的等差中项是9eq\r(3).
(1)求a1的值；
(2)若函数y＝a1sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)x＋φ))(其中0<φ<π)的一部分图象如图所示，M(－1，a1)，N(3，－a1)为图象上的两点，设∠MON＝θ，其中O为坐标原点，0<θ<π，求cos(θ－φ)的值.
解(1)由题可知a2＋a5＝18eq\r(3)，又a5＝8a2，故a2＝2eq\r(3)，∴a1＝eq\r(3).
(2)∵点M(－1，a1)在函数y＝a1sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)x＋φ))的图象上，
∴sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,4)＋φ))＝1，又∵0<φ<π，∴φ＝eq\f(3,4)π.
连接MN，在△MON中，由余弦定理得
cosθ＝eq\f(|OM|2＋|ON|2－|MN|2,2|OM||ON|)＝eq\f(4＋12－28,8\r(3))＝－eq\f(\r(3),2).又∵0<θ<π，
∴θ＝eq\f(5,6)π，
∴cos(θ－φ)＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,6)－\f(3π,4)))＝coseq\f(5π,6)coseq\f(3π,4)＋sineq\f(5π,6)sineq\f(3π,4)＝eq\f(\r(6)＋\r(2),4).
2.(本小题满分15分)A，B两组各有7位病人，他们服用某种药物后的康复时间(单位：天)记录如下：
A组：10，11，12，13，14，15，16
B组：12，13，15，16，17，14，a
假设所有病人的康复时间互相独立，从A，B两组随机各选1人，A组选出的人记为甲，B组选出的人记为乙.
(1)求甲的康复时间不少于14天的概率；
(2)如果a＝25，求甲的康复时间比乙的康复时间长的概率；
(3)当a为何值时，A，B两组病人康复时间的方差相等？(结论不要求证明)
解设事件Ai为“甲是A组的第i个人”，
事件Bi为“乙是B组的第i个人”，i，j＝1，2，…，7.
由题意可知P(Ai)＝P(Bi)＝eq\f(1,7)，i，j＝1，2，…，7.
(1)由题意知，事件“甲的康复时间不少于14天”等价于“甲是A组的第5人，或者第6人，或者第7人”，所以甲的康复时间不少于14天的概率是
P(A5∪A6∪A7)＝P(A5)＋P(A6)＋P(A7)＝eq\f(3,7).
(2)设事件C为“甲的康复时间比乙的康复时间长”.
由题意知，C＝A4B1∪A5B1∪A6B1∪A7B1∪A5B2∪A6B2∪A7B2∪A7B3∪A6B6∪A7B6.
因此P(C)＝P(A4B1)＋P(A5B1)＋P(A6B1)＋P(A7B1)＋P(A5B2)＋P(A6B2)＋P(A7B2)＋P(A7B3)＋P(A6B6)＋P(A7B6)＝10P(A4B1)＝10P(A4)P(B1)＝eq\f(10,49).
(3)a＝11或a＝18.
3.(本小题满分15分)如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，AC⊥AB，AD⊥DC，∠DAC＝60°，PA＝AC＝2，AB＝1.
(1)求二面角A－PB－C的余弦值.
(2)在线段CP上是否存在一点E，使得DE⊥PB，若存在，求线段CE的长度，不存在，说明理由.
解(1)如图，以eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AC,\s\up6(→))，eq\o(AP,\s\up6(→))分别为x，y，z轴的正半轴方向，建立空间直角坐标系，则P(0，0，2)，A(0，0，0)，B(1，0，0)，C(0，2，0)，Deq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),2)，\f(1,2)，0)).
易知eq\o(AC,\s\up6(→))＝(0，2，0)是平面PAB的法向量，
∵eq\o(PC,\s\up6(→))＝(0，2，－2)，eq\o(PB,\s\up6(→))＝(1，0，－2)，
设平面PBC的法向量为n＝(x，y，z)，
则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(n·\o(PC,\s\up6(→))＝0，,n·\o(PB,\s\up6(→))＝0，))∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2y－2z＝0，,