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确定加权多分裂预条件子的三个极小化模型
加权多分裂预条件子（WMP）是一种预处理技术，经常用于加速大型稀疏线性系统的求解。WMP是稀疏矩阵A的预处理矩阵，其作用是对矩阵A进行修正以提高求解效率。为了实现这个目的，WMP使用了一系列的极小化模型。
本文将介绍WMP的三个极小化模型，即对角线扰动、变权扰动和波浪扰动，并详细阐述其背后的数学原理和具体实现方法。
一、对角线扰动
对角线扰动是WMP中最简单的一种极小化模型。在这个模型中，我们将对角线上的元素aii修改为aii+ϵi，其中ϵi为一个很小的数，用来保证新矩阵的对角线元素都是正的。这个过程可以用下面的式子来表示：
(A+D)xi=b
其中A是原矩阵，D是对角线扰动矩阵，即D=diag(ϵ1,ϵ2,...,ϵn)，xi是未知向量，b是右侧向量。
这个模型的优点是简单易用，但是它也有一些局限性。对角线扰动只能处理那些已经是对角占优或几乎对角占优的问题。如果原矩阵不满足这个条件，对角线扰动可能会导致新矩阵的不稳定性和奇异性。
二、变权扰动
变权扰动是WMP中更为通用的一种极小化模型。在这个模型中，我们通过对原矩阵的行和列进行加权来生成新的矩阵，即将矩阵A修改为WAW^T的形式，其中W是一个对角矩阵，表示对每一行和每一列进行加权，以便改善新矩阵的条件数。
具体来说，我们引入一个n维向量w，其元素满足wi>0，然后通过计算W=diag(w1^−1/2,w2^−1/2,…,wn^−1/2)，将原矩阵A改为WAW^T的形式，即
(WAW^T)x=Wb
这里xi是未知向量，b是右侧向量。
变权扰动的好处是它可以处理那些原矩阵不满足对角占优或几乎对角占优条件的问题。此外，如果正确选择权重向量w，可以大大提高求解效率，节省计算时间。
三、波浪扰动
波浪扰动是WMP中一种比较新颖的极小化模型。这个模型的主要思想是通过对原矩阵进行分组，将不同组之间的元素进行加权，从而生成新的矩阵。
具体来说，在波浪扰动模型中，我们将原矩阵A分成k个子矩阵A1,A2,...,Ak，然后对每个子矩阵进行加权，再将它们拼接起来得到新的矩阵B，即B=diag(W1,W2,…,Wk)[A1A2...Ak]。
这个过程可以用下面的式子表示：
(W1A1W2A2…WkAk)x=b
其中xi是未知向量，b是右侧向量，W1,W2,...,Wk是k个对角矩阵。
波浪扰动的优点是它可以对较大的、不稀疏的矩阵进行预处理，同时也可以处理那些非对角占优的问题。值得注意的是，对于较小的矩阵，波浪扰动可能不会带来显著的效益，因此在选择加速方法时需要进行权衡。
综上所述，WMP是一种重要的预处理技术，可以大大提高稀疏线性系统求解的速度和精度。对角线扰动、变权扰动和波浪扰动是WMP中最为常用的三种极小化模型。这些模型都有其优点和局限性，需要根据具体的问题进行选择和调整。