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(完整版)二面角习题及答案
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(完整版)二面角习题及答案
二面角
D
P
C
A
B
1.如图三棱锥P—ABC中，PC⊥平面ABC,PC=，D是BC的中点，且△ADC是边长为2的正三角形，求二面角P—AB－C的大小。
解

E
D
B
A
S
C
2。如图在三棱锥S—ABC中，SA⊥底面ABC，AB⊥BC，DE垂直平分SC,且分别交AC、SC于D、E,又SA=AB，BS=BC,求以BD为棱，BDE与BDC为面的二面角的度数.
解：

3.如图:ABCD是矩形，AB=8，BC=4，AC与BD相交于O点,P是平面ABCD外一点,PO⊥面ABCD，PO=4，M是PC的中点，求二面角M-BD—C大小。
S
R
N
M
O
B
D
P
A
C
解：

D
B
A
E
C
4.如图△ABC与△BCD所在平面垂直，且AB=BC=BD，∠ABC=∠DBC=，求二面角A-BD-C的余弦值。
解:

5。已知正方体AC’，M、N分别是BB’，DD'的中点，求截面AMC’N与面ABCD,CC’D’D所成的角.
D’
B’
D
A
C’
B
A’
C
M
N
解：

B
F
E
A
C
D
6.如图AC⊥面BCD，BD⊥面ACD，若AC=CD=1，∠ABC=30°，求二面角的大小。
解：

7.三棱锥A-BCD中，∠BAC=∠BCD=90°，∠DBC=30°，AB=AC=，AD=4，求二面角A-BC-D的度数。
D
O
A
B
C
解：

9。如图所示,四棱锥P—ABCD的底面是边长为a的菱形，∠A＝60°，PC⊥平面ABCD，PC＝a，E是PA的中点。
(1）求证平面BDE⊥平面ABCD。（2）求点E到平面PBC的距离。（3）求二面角A—EB—D的平面角大小。
解析:
10。如图，已知正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为1，E、F分别在棱AB、BC上,G在对角线BD1上，且AE＝，BF＝，D1G∶GB＝1∶2,求平面EFG与底面ABCD所成的二面角的大小.

11.如图,设ABC—A1B1C1是直三棱柱,E、F分别为AB、A1B1的中点,且AB＝2AA1＝2a,AC＝BC＝a.
（1）求证：AF⊥A1C
(2)求二面角C-AF—B的大小

12．如图是长方体,AB=2，，求二平面与所成二面角的大小．

13。在正方体中，，，且，.．求：平面AKM与ABCD所成角的大小．

14.如图，将边长为a的正三角形ABC按它的高AD为折痕折成一个二面角．
（1）若二面角是直二面角，求的长;
(2)求与平面所成的角；
(3）若二面角的平面角为120°，求二面角的平面角的正切值．

参考答案
D
P
C
A
B
解：由已知条件,D是BC的中点
∴CD=BD=2又△ADC是正三角形
∴AD=CD=BD=2
∴D是△ABC之外心又在BC上
∴△ABC是以∠BAC为直角的三角形,
∴AB⊥AC，又PC⊥面ABC
∴PA⊥AB(三垂线定理）
∴∠PAC即为二面角P-AB—C之平面角，
易求∠PAC=30°
E
D
B
A
S
C
2、解：∵BS=BC,又DE垂直平分SC
∴BE⊥SC，SC⊥面BDE
∴BD⊥SC,又SA⊥面ABC
∴SA⊥BD，BD⊥面SAC
∴BD⊥DE,且BD⊥DC
则∠EDC就是所要求的平面角
设SA=AB=a，
则BC=SB=a且AC=
易证△SAC∽△DEC
∴∠CDE=∠SAC=60°
3、S
R
N
M
O
B
D
P
A
C
解：取OC之中点N，则MN∥PO
∵PO⊥面ABCD
∴MN⊥面ABCD且MN=PO/2=2，
过N作NR⊥BD于R，连MR，
则∠MRN即为二面角M-BD-C的平面角
过C作CE⊥BD于S
则RN=CE在Rt△BCD中，CD·BC=BD·CE
∴
∴
∴
4.解：过A作AE⊥CB的延长线于E，连结DE，
∵面ABC⊥面BCD
∴AE⊥面BCD
∴E点即为点A在面BCD内的射影
∴△EBD为△ABD在面BCD内的射影设AB=a则AE=DE=ABsin60°=
∴AD=,
∴sin∠ABD=
∴又
∴
∴
5.D’
B’
D
A
C’
B
A’
C
M
N
解:设边长为a，易证ANC'N是菱形
且MN=，A’C=
∴Ｓ□AMC’N=
由于AMC'N在面ABCD上的射影即
为正方形ABCD
∴Ｓ□ABCD=
∴
∴
取CC'的中点M'，连结DM'
则平行四边形DM'C'N是四边形AMC'N在CC'D'D上的射影，
Ｓ□DM’C’M=
∴
∴
6。B
F
E
A
C
D
解:作DF⊥AB于F，CE⊥AB于E，
∵AC=CD=1∠ABC=30°
∴AD=，BC=,
AB=2，BD=
在Rt△