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(完整word)圆的一般方程
(完整word)圆的一般方程
(完整word)圆的一般方程
圆的一般方程
［学习目标]1.正确理解圆的方程的形式及特点,会由一般式求圆心和半径.2。会在不同条件下求圆的一般方程。

知识点一圆的一般方程的定义
1。当D2＋E2－4F〉0时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0叫做圆的一般方程，其圆心为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f（D，2），－\f（E，2))）,半径为eq\f(\r(D2＋E2－4F）,2).
2。当D2＋E2－4F＝0时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示点eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(D,2），－\f（E，2）))。
3.当D2＋E2－4F<0时,方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0不表示任何图形.
思考若二元二次方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0,表示圆，需满足什么条件？
答①A＝C≠0；②B＝0；③D2＋E2－4AF＞0.
知识点二由圆的一般方程判断点与圆的位置关系
已知点M（x0，y0)和圆的方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0（D2＋E2－4F>0).则其位置关系如下表：
位置关系代数关系点M在圆外xeq\o\al（2,0）＋yeq\o\al（2，0)＋Dx0＋Ey0＋F>0点M在圆上xeq\o\al（2,0)＋yeq\o\al（2,0)＋Dx0＋Ey0＋F＝0点M在圆内xeq\o\al(2，0）＋yeq\o\al（2,0)＋Dx0＋Ey0＋F〈0
题型一圆的一般方程的定义
例1判断方程x2＋y2－4mx＋2my＋20m－20＝0能否表示圆,若能表示圆，求出圆心和半径长.
解方法一由方程x2＋y2－4mx＋2my＋20m－20＝0，知D＝－4m，E＝2m，F＝20m－20，
故D2＋E2－4F＝16m2＋4m2－80m＋80＝20（m－2)2。
因此，当m＝2时，它表示一个点;
当m≠2时，原方程表示圆，此时，圆的圆心为（2m，－m），半径长r＝eq\f(1,2）eq\r（D2＋E2－4F)＝eq\r（5)|m－2|。
方法二原方程可化为(x－2m）2＋(y＋m)2＝5(m－2）2。
因此，当m＝2时,它表示一个点；
当m≠2时,原方程表示圆。
此时,圆的圆心为(2m,－m），半径长r＝eq\r(5）|m－2|。

跟踪训练1如果x2＋y2－2x＋y＋k＝0是圆的方程，则实数k的范围是________.
答案eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f（5，4)）)
解析由题意可知(－2）2＋12－4k〉0，
即k〈eq\f（5，4)。
题型二求圆的一般方程
例2已知△ABC的三个顶点为A（1,4），B(－2，3),C（4，－5)，求△ABC的外接圆方程、圆心坐标和外接圆半径.
解方法一设△ABC的外接圆方程为
x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，
∵A，B，C在圆上，
∴eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（1＋16＋D＋4E＋F＝0，，4＋9－2D＋3E＋F＝0，,16＋25＋4D－5E＋F＝0，)）
∴eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（D＝－2，,E＝2，，F＝－23，)）
∴△ABC的外接圆方程为x2＋y2－2x＋2y－23＝0，
即（x－1)2＋(y＋1)2＝25。
∴圆心坐标为（1，－1），外接圆半径为5。
方法二设△ABC的外接圆方程为
(x－a)2＋（y－b）2＝r2，∵A、B、C在圆上，
∴eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（1－a2＋4－b2＝r2，，－2－a2＋3－b2＝r2，,4－a2＋－5－b2＝r2，))
解得eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(a＝1，，b＝－1,，r＝5，)）即外接圆的圆心为(1，－1）,半径为5，
∴圆的标准方程为（x－1）2＋（y＋1）2＝25，展开易得其一般方程为x2＋y2－2x＋2y－23＝0.
方法三∵kAB＝eq\f(4－3,1＋2）＝eq\f(1,3），kAC＝eq\f（4＋5，1－4)＝－3,
∴kAB·kAC＝－1,∴AB⊥AC.
∴△ABC是以角A为直角的直角三角形.
∴圆心是线段BC的中点，
坐标为（1，－1)，r＝eq\f（1，2)|BC|＝5.
∴外接圆方程为(x－1）2＋（y＋1）2＝25.
展开得一般方程为x2＋y2－2x＋2y－23＝0.

跟踪训练2已知一个圆过P(4，2)，Q（－1，3）两点，且在y轴上截得的线段长为4eq\r(3)，求圆的方程