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(完整word)含参不等式的解法举例
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含参不等式专题（淮阳中学）
编写：孙宜俊
当在一个不等式中含有了字母，则称这一不等式为含参数的不等式，那么此时的参数可以从以下两个方面来影响不等式的求解，首先是对不等式的类型（即是那一种不等式）的影响，其次是字母对这个不等式的解的大小的影响。我们必须通过分类讨论才可解决上述两个问题，同时还要注意是参数的选取确定了不等式的解，而不是不等式的解来区分参数的讨论。解参数不等式一直是高考所考查的重点内容，也是同学们在学习中经常遇到但又难以顺利解决的问题。下面举例说明，以供同学们学习。
解含参的一元二次方程的解法，在具体问题里面，按分类的需要有讨论如下四种情况：
二次项的系数；(2)判别式；（3）不等号方向(4）根的大小。
含参数的一元二次不等式的解法：
1．二次项系数为常数（能分解因式先分解因式，不能得先考虑）
例1、解关于的不等式。
解：
为方程的两个根
（因为与1的大小关系不知，所以要分类讨论）
（1)当时,不等式的解集为
（2）当时,不等式的解集为
（3）当时,不等式的解集为
综上所述：
(1）当时,不等式的解集为
(2）当时，不等式的解集为
（3）当时，不等式的解集为
变题1、解不等式；
2、解不等式。

小结：讨论两个根的大小关系，尤其是变题2中2个根都有参数的要加强讨论。
例2、解关于的不等式
分析此不等式为含参数k的不等式,当k值不同时相应的二次方程的判别式的值也不同，故应先从讨论判别式入手.
解
(1)当有两个不相等的实根.
所以不等式：

（2)当有两个相等的实根，
所以不等式，即；
（3）当无实根
所以不等式解集为。
说明:一元二次方程、一元二次不等式、一元二次函数有着密切的联系，要注意数形结合研究问题。
小结：讨论，即讨论方程根的情况。
2．二次项系数含参数(先对二次项系数讨论，分大于、等于或小于0，然后能分解因式先分解因式，不能得先考虑)
例3、解关于的不等式：
解：若，原不等式
若，原不等式或
若，原不等式
其解的情况应由与1的大小关系决定,故
（1）当时，式的解集为;
（2）当时,式;
（3）当时，式。
综上所述,当时，解集为{}；
当时，解集为{};
当时,解集为{}；
当时,解集为；当时,解集为｛｝.
例4、解关于的不等式:
解：
（1)时，
(2）时，则或，
此时两根为,.
=1\＊GB3①当时，,；
=2\*GB3②当时，，;
=3\＊GB3③当时，，；
=4\＊GB3④当时，，.
综上，可知当时，解集为(，);
当时，解集为；
当时，解集为（）（）；
当时，解集为（）（）。
例5、解关于的x不等式
分析：当m+1=0时，它是一个关于x的一元一次不等式；当m+11时，还需对m+1>0及m+1〈0来分类讨论，并结合判别式及图象的开口方向进行分类讨论：⑴当m〈－1时，⊿=4（3－m）〉0，图象开口向下，与x轴有两个不同交点，不等式的解集取两边。⑵当－1<m〈3时,⊿=4（3－m）>0,图象开口向上，与x轴有两个不同交点，不等式的解集取中间。⑶当m=3时,⊿=4（3－m）=0,图象开口向上，与x轴只有一个公共点，不等式的解为方程的根。⑷当m>3时，⊿=4（3－m）〈0,图象开口向上全部在x轴的上方，不等式的解集为。
解：

当m=3时,原不等式的解集为；
当m>3时，原不等式的解集为.
小结：⑴解含参数的一元二次不等式可先分解因式再讨论求解,若不易分解，也可对判别式分类讨论。⑵利用函数图象必须明确：①图象开口方向，②判别式确定解的存在范围，③两根大小.⑶二次项的取值（如取0、取正值、取负值）对不等式实际解的影响。
牛刀小试：解关于x的不等式
思路点拨：先将左边分解因式，找出两根，然后就两根的大小关系写出解集。具体解答请同学们自己完成.

二、含参数的分式不等式的解法：
例1:解关于x的不等式
分析:解此分式不等式先要等价转化为整式不等式，再对ax－1中的a进行分类讨论求解，还需用到序轴标根法。
解：原不等式等价于
当=0时，原不等式等价于
解得，此时原不等式得解集为｛x｜｝；
当〉0时,原不等式等价于,
则：当原不等式的解集为；
当0<原不等式的解集为；
当原不等式的解集为；
当<0时，原不等式等价于，
则当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为;
当时，原不等式的解集为;
小结：⑴本题在分类讨论中容易忽略=0的情况以及对，－1和2的大小进行比较再结合系轴标根法写出各种情况下的解集。⑵解含参数不等式时,一要考虑参数总的取值范围，二要用同一标准对参数进行划分，做到不重不漏，三要使划分后的不等式的解集的表达式是确定的。⑶对任何分式不