泰勒展开定理教学内容.ppt

泰勒中值定理问题的提出——函数值的近似计算不足之处是十分明显的:分析:泰勒(Taylor)中值定理(1712年)证明:拉格朗日型余项泰勒(Taylor)中值定理有了Taylor中值定理中的这种带有定量性质的余项之后，我们就可以在较大范围内(而不只是一个给定点x0的近旁)来研究用多项式逼近函数f(x)的误差。特别地，如果在这个范围内f(n+1)(x)有界并且能给出|f(n+1)(x)|的一个尽可能小的上界时，好处就显现出来了。麦克劳林(Maclaurin)公式麦克劳林(Maclaurin)公式解例2可以注意到，正弦函数是一个奇函数，所以其Maclaurin展开式中的多项式部分没有偶数次项。极好的
近似
结果播放可以注意到，正弦函数是一个奇函数，所以sinx的Maclaurin展开的表达式中只有x的奇数次方项，并且所以，我们可以得到用n次多项式来近似表示正弦、余弦函数的近似计算结果，而且可以看到，随着n的增大，近似效果就越来越好，x的取值范围就可以随之而扩大。例3我们需要注意到，并不是只要提高Taylor多项式的次数，就能不断地改进对函数的逼近程度。以一个著名的例子来说明：此时的余项称为是皮亚诺(Peano)型余项,
函数的带皮亚诺型余项的展开式主要用于函数的极限计算,并且对函数的要求也可以适当降低.Theorem2如果函数f(x)在含有x0的某个开区间(a,b)内具有n阶导数,则在(a,b)内当xx0时,f(x)可以表示为(x-x0)的一个n次多项式与一个余项Rn(x)之和:例4求极限Taylor公式泰勒(Taylor)中值定理例5一些常用的简单函数的Taylor展开式或
者Maclaurin展开式常用简单函数的麦克劳林公式例6证明法二备注: