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第一节直与曲第一节直与曲从高等数学的思想方法中可以看出，直与曲除了有非直即曲的一面，也存在亦直亦曲的一面.存在直与曲之间的中介状态，通过这个中介状态实现直与曲的转化.比如，曲线的渐近线是指,在曲线无限延伸时与一条定直线“无限接近，但永不相交”,其数学表达式如下确定:在高等数学中，利用直与曲的这种中介状态,实现局部范围内的“以直代曲”，是高等数学中的一种基本的辩证思想方法.第四步：取极限.通过取极限，再把分割无限加细，近似程度会越来越高，从而使小直边矩形面积的和转化为原来曲边梯形的面积.例2已知物体Ω在区间[a,b]上任意一点x处的平行截面积为A(x),求物体的体积V.例3已测得某水库深水体积V(万方)和水深H(米)之间的对应数值表假设V=aH2,
作变换H2=h,V=v,必须指出：“直曲转化”是有条件的，并非任何情况下都
可“以直代曲”.第二节常量与变量如，在函数概念中，常量与变量是对于某一过程而言的.同样，二重积分的计算在直角坐标系中进行平移或旋转变换，在新坐标系中曲线方程(*)化为
A2u2+2B2uv+C2v2+2D2u+2E2v+F2=0.(**)返回在常微分方程中，常数变易法，是用常量来刻划变量的典型思想方法.代入原方程(***)，可求得

C(x)=,又如，求参变量函数为了讨论函数在定点x=的连续性,需要转化为讨论函数

在包含的区间[a,b]上的连续性.从而把面积S变量化，得到一个关于x的函数第三节连续与间断返回二、连续与间断在一定条件下可以相互转化例2判定离散的数值级数的敛散性在数值计算中，正在发展一种连续变量离散化的方法，即为了计算连续量的值，而把连续量分拆为离散的量来计算.离散化方法主要有两类:第四节有限与无限在数列极限的几何意义中，认为当n>N时，从第N+1项起，以后的一切项an都落在长度为2ε的邻域内，这也是实无限的观点.可以说，把微积分建立在极限基础之上，就是运用实无限观点的成果.又如，有限个连续函数的积是连续的，但无限个连续函数的积却不一定连续;有限个可微分函数的和可微，有限个可积函数的和可积，如果把“有限”改为“无限”，则结论都不成立.函数f(x)在()内的任何有限闭区间上一致连续,但

f(x)在()内可能不一致连续;函数级数在有

限区间上收敛，但在无限区间上可能不收敛.同样，如图ABD与ACD面积不等，但它们中的与AD平行的线段等长,且“条数”是一样多.二、通过有限认识无限（1）从有限入手，首先验证P（1），P（2），为真；三、通过无限来表示有限第五节抽象与具体数学抽象主要经历了三个发展阶段:
第一阶段：产生数的概念,使对象同一起来，撇开个体物的质的无限多样性和创造数的符号，即数字.3.数学的研究方法几乎完全致力于用逻辑的方法处理抽象的概念和它们的相互关系.只有引进经过精心设计的符号和改进公理化方法，数学才能不断地发展.中国古代数学的发展从另一个角度证明了这一点.朱世杰用“太”表示常数项，居中；用天、地、人、物表示四个未知量，其系数分别放在“太”的下方、左方、右方和上方.上、下、左、右四个方位只能放四个未知量,如果有第五个未知量，就无处安排，要推广到n个就更不可能了.禾在得到二次、三次和四次方程的根式解之后，人们自然要寻求五次或五次以上方程的根式解，但没有成功.1826年，挪威数学家阿贝尔证明，高于四次的一般方程没有根式解.1829～1832年间，法国数学家伽罗瓦(Galois,1811～1832)把一个代数方程是否有根式解，归结为该方程的“群”的性质，并利用群的性质彻底解决了几个世纪以来数学家一直未能解决的问题，给出了代数方程可用根式解的判别准则.共同点：都是函数；第六节局部与整体(2)比较静点态：除了考虑p(x)在点x0的值外，还需考虑p(x)在x0附近的其它点上的值，通过比较，得出p(x)在点x0是否为真.例如，三、局部性与整体性的辩证关系当f(x)在[a,b]上连续时，函数是f(x)在[a,b]

上的原函数,满足,而定积分变成

函数F(x)在点b的函数值.这样，将求函数f(x)在[a,b]上的定积分变成函数F(x)在点b的函数值.第七节偶然性与必然性17、18世纪牛顿力学的成就使人们认识到，引力既决定天空中行星和慧星的运行，又决定地球上物体的运动.以牛顿力学为基础的严格决定论看来，对自然现象的科学描述，偶然性是不起什么作用的，严格决定论的规律是描述自然现象及其过程的最普遍、最基本的规律.1979年，美国混沌学专家洛仑兹(Lorenz）在一次国际演讲中说；“一只蝴蝶在巴西煽动翅膀会在得克萨斯引起龙卷风吗？”他的回答是肯定的.他很快意识到，问题出在打进去的那些数字上,在计算机的存储中，每个数保持6位十进制的值，例如0.506127输入时，为了节省空间，只打印三位数0.506.洛仑兹把