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全国大学生数学竞赛几何题的极值方法及其引申
极值问题在数学竞赛中有着重要的地位，尤其是在几何题中。极值问题要求确定某个函数或集合在一定条件下的最大值或最小值。在解决极值问题时，我们需要运用各种技巧和方法。本文将讨论一些解决几何极值问题的方法，并给出一些与之相关的题目。
一、利用性质
1.唯一性：当问题中给定的条件唯一确定了图形时，只需要证明该图形在给定条件下的最大值或最小值即可。
2.对称性：若给定的图形具有对称性，可以通过对称性的性质来寻找最值。例如，若一道题目中给定三角形的内角和为定值，则可以尝试构造等腰三角形或等边三角形。
3.三角函数性质：利用三角函数的周期性特点，可以对边长、角度等进行变换，从而寻找最值。例如，题目中给定一个角度的正弦值，可以利用三角函数的周期性，将该角度改写为一个角度的正弦值，再利用三角函数的性质解题。
二、变形方法
1.几何变形：通过对图形的变形，可以将原问题转化为一个更容易求解的形式。例如，题目中给定了一个矩形，要求求其最大或最小的面积。我们可以将矩形变形为一个正方形，因为正方形的面积是最大的。
2.坐标变换：通过合适的坐标变换，可以将几何问题转化为代数问题，从而更容易求解。例如，题目中给定了一个三角形的边长和一个角度，可以利用坐标变换将三角形的顶点放在坐标轴上，然后通过坐标计算求解问题。
三、使用不等式
1.平均值不等式：平均值不等式是极值问题中常用的不等式之一。根据不等式的性质，对一组数的平均值和它们的和进行比较，可以得到一些关于最值的结论。例如，题目中给定一个三角形的三边长，要求最大的面积。可以通过平均值不等式来确定最值。
2.Cauchy-Schwarz不等式：Cauchy-Schwarz不等式是极值问题中常用的不等式之一。该不等式是一个关于内积的不等式，通过将不等式转化为代数形式，可以求解极值问题。例如，题目中给定一个点到两个线段的距离之和，要求该点到一条线段的距离。可以通过Cauchy-Schwarz不等式来解决。
四、拓展题目
1.题目：平面上一条直线与一个半径为r的圆相交，求所得的线段的最大长度。
解析：观察题目，可以发现当直线过圆心时，所得线段的长度最大。因此，可以通过构造直线过圆心的方法来求解最大值。
2.题目：已知一个半径为r的圆，求一个与该圆相切的矩形的最大面积。
解析：由于矩形与圆相切，可以利用矩形的对称性来求解。可以将矩形的一边放在圆的直径上，然后通过矩形的对称性构造最大面积的矩形。
3.题目：平面上给定两个定点，求与这两点距离之和为定值的动点的轨迹方程。
解析：观察题目，可以发现动点的轨迹是一个椭圆的弦。通过对椭圆进行变形，可以求解问题。
总结：在解决几何极值问题时，需要灵活运用性质，利用变形方法和不等式技巧，从而找到最优解。通过解析一些与极值问题相关的题目，可以培养对几何问题的分析和解决能力。同时，几何极值问题也需要多加练习和实践，才能熟练应用。