2018年成人高考专升本高等数学考前复习重点分析.doc

2018年成人高考专升本
高等数学考前复习重点分析

第一章函数、极限和连续
§1.1函数
一、主要内容㈠函数的概念
1.函数的定义: y=f(x), xD
定义域:D(f), 值域:Z(f).

f(x)xD1
2.分段函数:y
g(x)xD2
3.隐函数: F(x,y)=0
4.反函数: y=f(x)x=(y)=f-1(y)
y=f-1(x)
定理:如果函数:y=f(x),D(f)=X,Z(f)=Y
是严格单调增加(或减少)的；
则它必定存在反函数：
y=f-1(x),D(f-1)=Y,Z(f-1)=X
且也是严格单调增加(或减少)的。
㈡函数的几何特性
1.函数的单调性:y=f(x),xD,x1、x2D
当x1＜x2时,若f(x1)f(x2),
则称f(x)在D内单调增加()；
若f(x1)f(x2),
则称f(x)在D内单调减少()；
若f(x1)＜f(x2),
则称f(x)在D内严格单调增加()；
若f(x1)＞f(x2),
则称f(x)在D内严格单调减少()。

2.函数的奇偶性：D(f)关于原点对称
偶函数：f(-x)=f(x)奇函数：f(-x)=-f(x)

3.函数的周期性：
周期函数：f(x+T)=f(x),x(-，+)
周期：T——最小的正数
4.函数的有界性：|f(x)|M,x(a,b)

㈢基本初等函数
1.常数函数：y=c，(c为常数)
2.幂函数： y=xn, (n为实数)
3.指数函数：y=ax,(a＞0、a1)
4.对数函数：y=logax,(a＞0、a1)

1
5.三角函数：y=sinx,y=conx
y=tanx,y=cotx
y=secx,y=cscx
6.反三角函数：y=arcsinx,y=arcconx
y=arctanx,y=arccotx

㈣复合函数和初等函数
1.复合函数：y=f(u),u=(x)
y=f[(x)], xX

2.初等函数:
由基本初等函数经过有限次的四则运算（加、减、乘、除）和复合所构成的，并且能用一个数学式子表
示的函数
§1.2极限
一、 主要内容
㈠极限的概念
1.
数列的极限:
limy
n

n
A

称数列yn以常数A为极限;

或称数列yn收敛于A.

定理:若


yn的极限存在y必定有界.n

2.函数的极限：
⑴当x时， f(x)的极限：

limf(x)A
xlmf(x)Alxif(x)A
x
i


m

⑵当xx0时， f(x)的极限：

lximf(x)A
x
0

左极限：xlim f(x)A
x0
右极限：xlxim f(x)A
0
⑶函数极限存的充要条件：

定理：lim
xx
f(x)Axlimf(x)xlimf(x)A

2
0

无穷大量和无穷小量
x
0


2
x0
1.无穷大量：lim f(x)

称在该变化过程中 f(x)为无穷大量。

X再某个变化过程是指：
x,x,x,xx0,xx0,xx0
2.无穷小量：limf(x)0

称在该变化过程中 f(x)为无穷小量。
3.无穷大量与无穷小量的关系：

定理：limf(x)0lim

4.无穷小量的比较：lim

1,(f(x)0)
f(x)

0,lim0

⑴若lim0,则称是比较高阶的无穷小量；


⑵若limc（c为常数），则称与同阶的无穷小量；


⑶若lim

1，则称与是等价的无穷小量，记作：～；


⑷若lim,则称是比较低阶的无穷小量。


定理：若：1~1，2~2；

则：

lim12lim

1
2

㈢两面夹定理
1． 数列极限存在的判定准则：

设： ynxnzn （n=1、2、3）

且：lim
n ynlniznam

则：

lixnam
n
2．函数极限存在的判定准则：
设：对于点x0的某个邻域内的一切点
（点x0除外）有：
g(x)f(x)h(x)

3
且：lim g(x)limh(x)A
xx0
xx0
则：limf(x)A
xx0

㈣极限的运算规则
若：limu(x)A,limv(x)B

②
则：①lim[u(x)v(x)]limu(x)limv(x)AB
lim[u(x)v(x)]limu(x)limv(x)AB
③limu(x)limu(x)A (limv(x)0)
v(x)l