安徽普高专升本统考《高等数学》试题答案解析.doc

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安徽省2012年普通高等学校专升本招生考试
高等数学
注意事项：
1．试卷，请用签字笔答题，答案按要求写在指定的位置。
2．答题前将密封线内的项目填写完整。
一、选择题（下列每小题的选项中，只有一项是符合题意的，请将表示该选项的字母填在题后的括号内。共10小题，每小题3分，共30分）
1.若函数在在处连续，则（C）
A.0B.1C.2D.3
解：由得,故选C.
2.当时，与函数是等价无穷小的是（A）
A.B.C.D.
解：由,故选A.
3.设可导，则=（D）
A.B.C.D.
解：,故选D.
4.设是的一个原函数，则（B）
A.B.C.D.
解：因是的一个原函数,所以,所以
故选B.
5.下列级数中收敛的是（C）
A.B.C.D.
解：因,所以收敛,故选C.
y
y=2x
y=x2
O1x
2
1
6.交换的积分次序，则下列各项正确的是（B）
A.B.
C.D.
解：由题意画出积分区域如图:故选B.
7.设向量是非齐次线性方程组AX=b的两个解，则下列向量中仍为该方程组解的是（D）
A.B.C.D.
解：因同理得
故选D.

8.已知向量线性相关,则（D）
A.-2B.2C.-3D.3
解:
由于线性相关,所以,因此
9.设为事件，且则（A）
A.0.2B.0.4C.0.6D.0.8
解:
10.有两个口袋,甲袋中有3个白球和1个黑球,乙袋中有1个白球和3个黑球.现从甲袋中任取一个球放入乙袋，再从乙袋中任取一个球,则取出白球的概率是（B）
A.B.C.D.
解:由全概率公式得

二、填空题(本题共10小题，每小题3分，共30分，把答案填在题中横线上。)
11．设函数，则函数的定义域为.
解：.

12．设曲线在点M处的切线斜率为3,则点M的坐标是.
解：，由，从而，故填.

13．设函数，则.
解：,.
14．.
解：.
15．=e.
解：.
16．幂级数的收敛域为.
解：由.
得级数收敛,
当时,级数为收敛;当时,级数为发散;
故收敛域为.
17．设A是n阶矩阵，E是n阶单位矩阵，且则.
解：

18．设，记表示A的逆矩阵,表示A的伴随矩阵,则
.
19．设型随机变量且则=.
解：由正态分布的对称性得.

20．设型随机变量在区间上服从均匀分布,则方差.
解：直接由均匀分布得.

三、计算题：本大题共8小题，其中第21-27题每题7分，第28题11分，共60分。
21．计算极限.
解：原式=
=
==0.

22．求由方程确定的隐函数的导数.
解：两边取对数得,
两边求导得,
从而.

23．计算定积分
解：令,则当时,;当时,.
所以原式====.

24．求微分方程的通解.
解：原方程可整理为
这是一阶线性微分方程,其中.
所以原方程的通解为

.

25．计算二重积分,其中是由直线所围成的区域.
y
y=2x
xy=2
x
O
12
4
2
解：区域D如图阴影部分所示.
故

.

26．设矩阵，且满足,求矩阵X.
Ox
y
y=x

2
1
图5-7

解：由可得
因,所以可逆,
因此

27．设行列式,求在处的导数.
解：

.
故.
从而.
28．已知离散型随机变量X的密度函数为且数学期望.
求:(1)a的值;(2)X的分布列；(3)方差D(X)．
解：(1)由分布函数的性质知,随机变量X的可能取值为0、1、2，且

因
所以.
(2)由（1）即得X的分布列为
012(3),
解：由题意知:
,故.

四、证明题与应用题：本大题共3小题，每小题10分，共30分。
29．设，其中可微，.
证明：因为

,
故
.(9分)

30．设D是由曲线及x轴所围成的的平面区域
y
O
x
y=lnx

1
e
(e,1)
求:(1)平面区域D的面积S;(2)D绕y轴旋转一周所成的旋转体的体积V．
解:区域D如图阴影部分所示。曲线与x轴及
的交点坐标分别为
（1）平面区域D的面积
.
（2）D绕y轴旋转一周所成的旋转体的体积V

31．证明不等式：当时，.
证明:设,则,
所以上单调递增,从而当当时,有
,即,即;
令,则,
所以上单调递减,从而当当时,有
,即,从而.
综上所述:当时，有.