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汇编《因动点产生的面积问题》含答案
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例1如图1，边长为8的正方形ABCD的两边在坐标轴上，以点C为顶点的抛物线经过点A，点P是抛物线上A、C两点间的一个动点（含端点），过点P作PF⊥BC于点F．点D、E的坐标分别为(0,6)、(－4,0)，联结PD、PE、DE．
（1）直接写出抛物线的解析式；
（2）小明探究点P的位置发现：当点P与点A或点C重合时，PD与PF的差为定值．进而猜想：对于任意一点P，PD与PF的差为定值．请你判断该猜想是否正确，并说明理由；
（3）小明进一步探究得出结论：若将“使△PDE的面积为整数”的点P记作“好点”，则存在多个“好点”，且使△PDE的周长最小的点P也是一个“好点”．
请直接写出所有“好点”的个数，并求出△PDE周长最小时“好点”的坐标．

图1备用图

如图1，边长为8的正方形ABCD的两边在坐标轴上，以点C为顶点的抛物线经过点A，点P是抛物线上A、C两点间的一个动点（含端点），过点P作PF⊥BC于点F．点D、E的坐标分别为(0,6)、(－4,0)，联结PD、PE、DE．
（1）直接写出抛物线的解析式；
（2）小明探究点P的位置发现：当点P与点A或点C重合时，PD与PF的差为定值．进而猜想：对于任意一点P，PD与PF的差为定值．请你判断该猜想是否正确，并说明理由；
（3）小明进一步探究得出结论：若将“使△PDE的面积为整数”的点P记作“好点”，则存在多个“好点”，且使△PDE的周长最小的点P也是一个“好点”．
请直接写出所有“好点”的个数，并求出△PDE周长最小时“好点”的坐标．

图1备用图

动感体验
请打开几何画板文件名“15河南23”，拖动点P在A、C两点间的抛物线上运动，观察S随P变化的图像，可以体验到，“使△PDE的面积为整数”的点P共有11个．
思路点拨
1．第（2）题通过计算进行说理．设点P的坐标，用两点间的距离公式表示PD、PF的长．
2．第（3）题用第（2）题的结论，把△PDE的周长最小值转化为求PE＋PF的最小值．
满分解答
（1）抛物线的解析式为．
（2）小明的判断正确，对于任意一点P，PD－PF＝2．说理如下：
设点P的坐标为，那么PF＝yF－yP＝．
而FD2＝，所以FD＝．
因此PD－PF＝2为定值．
（3）“好点”共有11个．
在△PDE中，DE为定值，因此周长的最小值取决于FD＋PE的最小值．
而PD＋PE＝(PF＋2)＋PE＝(PF＋PE)＋2，因此当P、E、F三点共线时，△PDE的周长最小（如图2）．
此时EF⊥x轴，点P的横坐标为－4．
所以△PDE周长最小时，“好点”P的坐标为(－4,6)．

图2图3
考点伸展
第（3）题的11个“好点”是这样求的：
如图3，联结OP，那么S△PDE＝S△POD＋S△POE－S△DOE．
因为S△POD＝，S△POE＝，S△DOE＝12，所以
S△PDE＝＝＝．
因此S是x的二次函数，抛物线的开口向下，对称轴为直线x＝－6．
如图4，当－8≤x≤0时，4≤S≤13．所以面积的值为整数的个数为10．
当S＝12时，方程的两个解－8,－4都在－8≤x≤0范围内．
所以“使△PDE的面积为整数”的“好点”P共有11个．

图4

例2如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋bx－3（a≠0）与x轴交于A(－2,0)、B(4,0)两点，与y轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P从点A出发，在线段AB上以每秒3个单位长度的速度向点B运动，同时点Q从点B出发，在线段BC上以每秒1个单位长度的速度向点C运动．其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动．当△PBQ存在时，求运动多少秒时△PBQ的面积最大，最大面积是多少？
（3）当△PBQ的面积最大时，在BC下方的抛物线上存在点K，使S△CBK∶S△PBQ＝5∶2，求点K的坐标．

图1

如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋bx－3（a≠0）与x轴交于A(－2,0)、B(4,0)两点，与y轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P从点A出发，在线段AB上以每秒3个单位长度的速度向点B运动，同时点Q从点B出发，在线段BC上以每秒1个单位长度的速度向点C运动．其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动．当△PBQ存在时，求运动多少秒时△PBQ的面积最大，最大面积是多少？
（3）当△PBQ的面积最大时，在BC下方的抛物线上存在点K，使S△CBK∶S△PBQ＝5∶2，求点K的坐标．

图1

动感体验
请打开几何画板文件名“14昆明23”，拖动点P从A向B运动，可以体验到，当P运动到AB的中点时，△PBQ的面积最大．双击按钮“△PBQ面积最大”