卡尔曼滤波器在热力系统中的应用.doc

5热力系统的设计

本文应用卡尔曼滤波对温室室内温度和室外温度，进行估计，我们用测温传感器对室内温度进行测量，并采用A/D转换器对测量值进行等时间间隔取样，取样时间间隔为，时标为。热力系统如下示

A/D

图5-1温室热力系统
5.1建立数学模型
上述系统的离散状态模型如下图

图5-2离散系统状态空间模型

此热力系统的状态方程为：
（5-1）
量测方程为：
（5-2）
上二式中：是因环境温度随机变化而产生的过程噪声；是在测量过程中引入的量测噪声。当变化时，他们将构成两个互不相关的白噪声。当变化时，它们将构成两个互不相关的白噪声序列{}和{}，其方差分别为：

我们可根据此求出过程噪声和量测噪声的协方差矩阵

5.2状态观测器的设计
由于本文中的系统方程和量测方程的形式是

而不是

故为使时标的取法一致，卡尔曼滤波器的递推公式可写成如下
(5-3)
(5-4)

(5-5)

(5-6)

+

+

+

图5-3状态观测图
5.3卡尔曼滤波器的初始值叠代
若假定我们已经知道=0时内外室的初始温度

则,,
利用（5-5）式，可得

利用（5-4）式，可得

再利用（5-6）式，可得

若将上述递推过程继续进行下去，我们即可依次求出=1～10时、、值。
=1～10时的值卡尔曼滤波增益值如图5-9示。
从图5-9中可知，当卡尔曼滤波增益在k=8时已基本达到其稳定值

可写出稳态时的卡尔曼滤波器的状态估计方程：

（5-7）
或写成

（5-8）
显然，只要选定对系统状态的初始估计值，即可利用依次求得的滤波增益值和滤波估计方程（5-3）式对系统状态进行递推估计。但是，由于在k=10后值基本趋于稳定,故也可利用稳态滤波估计方程（5-8）式来对系统状态进行递推估计。此时，由于在最初几次测量中采用了较高的滤波
增益稳态值，对系统状态的前几次估计会出现较大的误差。当然，大约在十
个取样周期之后，这种情况即可消除。
将上述结果通过MATLAB运行之后的图如图5.5-5.8所示(程序见附录)：

图5-5真实值、测量值及预测估计值随时间变化的图
在图5-5中：
红色--------------温度的真实值。
蓝色--------------温度的预测估计值。
绿色--------------温度的测量值。
由图5-5可看出真实值与预测估计值变化基本一致，可看成近似相等，而测量值因受到量测噪声影响而有所波动变化，不过取值在真实值的小范围内上下波动，对以后的预测估计影响较小。

图5-6测量值与预测估计值的误差
图5-6将图5-5中的预测估计值与测量值的波动曲线进行了放大，由此，我们可以看出，预测估计值的误差基本上趋向于零，说明预测估计值与真实值趋于相等，可见卡尔曼滤波器预测估计的准确性。
而测量值误差由于受到量测噪声的影响则在-1~1摄氏度之间上下波动变化，波动幅度较小，对测量结果影响不大。

图5-7真实值与预测估计值的变化曲线
图5-7中说明了真实值与预测估计值的变化趋于一致，近似相等。

图5-8温度预测估计值误差的波动曲线
从图5-8中我们可以看到预测估计值误差的具体波动情况，它的波动变化一直保持在-0.12~0.1摄氏度之间，从温度预测估计的角度来说，此误差对整体的预测估计值基本没有影响，从而使得预测估计值与真实值时间的误差基本趋于零。

图5-9卡尔曼滤波增益变化图
由图5-9可知，当k=8时，增益K(k)逐渐趋向于稳定。蓝线是温度的增益，绿线是温度的增益
附录
functionkalman(duration,dt)
%functionkalman(duration,dt)
%Kalmanfiltersimulationforavehicletravellingalongaroad.
%INPUTS
%duration=lengthofsimulation(seconds)
%dt=stepsize(seconds)
measnoise=10;%positionmeasurementnoise(feet)
accelnoise=0.2;%accelerationnoise(feet/sec^2)
a=[0.6270.361;0.0900.833];%transitionmatrix
b=[0;0];%inputmatrix
c=[10];%measurementmatrix
x=[20;25];%initialstatevector
xhat=x;%initialstateestimate
Sz=measnoise^2;%measurementerrorcovariance