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2018年浙江专升本高数考试真题答案

选择题：本大题共5小题，每小题4分，共20分。
设，则在内（C）
有可去间断点 B、连续点 C、有跳跃间断点 D、有第二间断点
解析：
，但是又存在，是跳跃间断点
当时，是的（D）无穷小
低阶 B、等阶 C、同阶 D、高阶
解析：高阶无穷小
设二阶可导，在处，，则在处（B）
取得极小值 B、取得极大值 C、不是极值 D、是拐点
解析：，则其，
为驻点，又是极大值点。
已知在上连续，则下列说法不正确的是（B）
已知，则在上，
，其中
，则内有使得
在上有最大值和最小值，则
解析：A.由定积分几何意义可知，，为在上与轴围成的面积，该面积为0，事实上若满足

有零点定理知结论正确
由积分估值定理可知，，，
则
5、下列级数绝对收敛的是（C）
A、B、C、D、
解析：A.，由发散发散
，由发散发散
，而=1，由收敛收敛收敛
发散
填空题
6、
解析：
，则
解析：
若常数使得，则
解析：
所以根据洛必达法则可知：

设，则
解析：，
是所确定的隐函数，则
解析：方程两边同时求导，得：，，
方程同时求导，得：，将带入，
则得，，
求的单增区间是
解析：
令，则，
求已知，则
解析：

解析：
由：围成的图形面积为
解析：
常系数齐次线性微分方程的通解为（为任意常数）
解析：特征方程：，特征根：
通解为（为任意常数）
三、计算题（本大题共8小题，其中16-19小题每小题7分，20-23小题每小题8分，共60分）
求
解析：
设，求在处的微分
解析：

将代入上式，得微分
求
解析：

求
解析：，

解析：为奇函数，

已知在处可导，求
解析：

求过点且平行于又与直线相交的直线方程。
直线过点，因为直线平行于平面，所以，，
设两条直线的交点，所以，
所以，，，所以，
所以直线方程为。
23、讨论极值和拐点
解析：
（1）的极值

令，则
列表如下：
13+0-0+极大值极小值

所以极大值为，极小值
（2）的拐点
令则
列表如下：
2-0+凸拐点凹

拐点为。

综合题（本大题共3大题，每小题10分，共30分）
利用，
将函数展开成的幂级数
将函数展开成的幂级数
解析：（1）令，，当时，

当时，级数发散；当时，级数收敛，故收敛域为。
（2）

其中，。
在上导函数连续，，已知曲线与直线及=1（）及轴所围成的去边梯形绕轴所围成的旋转体体积是该曲边梯形的倍，求
解析：，
由题意知，，求导得，得
再求导，得
即，则，，，
，，，,
由，带入得，故曲线方程为。
在连续且和的直线与曲线交于，证明：
存在
在存在
解析：
解法一：
（1）过的直线方程可设为：

所以可构造函数：
所以
又因为在连续可导的，则在连续可导，
所以根据罗尔定理可得存在,
使。
（2）由（1）知，又二阶可导，存在且连续，故由罗尔定理可知，
，使得。
解法二：
考虑在及上的格拉朗日中值定理有：
，，有，，
由于共线，
则有的斜率与的斜率相等，
于是有
（2）与解法一（2）做法一致。