西安交通大学-计算方法A2018上机实习报告.doc

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计算方法上机实验报告

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用列主元Gauss消去法解线性方程组Ax=b,其中：

1.1算法组织
消去法的中心就是“降维”，即：将求解n元方程组的问题转化为先解n-1元方程组，一旦这个n-1元方程组的解取得，则剩余的一个未知量自然可以求得。这样逐步减少未知量个数的方法，便是求解多元方程组的一个重要思想。列主元消去法的基本思想是：在进行第k步消元时，从第k列的对角线及其以下的各元素中选取绝对值最大的元素，然后通过行变换将它交换到主元素的位置上，再进行消元。
算法步骤如下：
（1）选主元：在子块的第一列中选择一个元使
并将第k行元与第行元互换。
（2）消元计算：对k=1,2,……n-1依次计算

回代求解

1.2计算结果及分析
运行matlab程序，输入系数矩阵和行向量，运行结果如下图所示。求解结果和理论值相同，说明算法组织和matlab程序的正确性。

二、求20阶三对角方程组Tx=f的解，其中：

2.1算法组织
系数矩阵T是一种特殊的稀疏矩阵，在三次样条插值或者差分算法求解常微分方程边值问题中常会遇到，系数矩阵T可以分解为一个上二对角阵和一个下二对角阵，方程的求解问题转换为两个方程组的求解，相当于Gauss消元法的部分称为“追”，相当于回代的过程称为“赶”，追赶法的具体步骤如下：
输入三对角矩阵和右端向量；
预处理：将压缩为四个一维数组，将分解矩阵压缩为三个一维数组
追的过程：

回代求解，赶的过程

停止，输出结果
2.2计算结果及分析
利用matlab编写追赶法程序，运行程序根据提示输入下对角元素、对角线元素、上对角元素以及右端的行向量，计算过程及结果如下图所示。经验证，计算结果和理论值相同，说明了算法和编程实现的准确性。

三、用Jacobi和Gauss-Seidel方法求解线性方程组，某电流的电路方程满足方程组：

试用Jacobi和Gauss-Seidel迭代法解之，使误差小于0.001。
3.1算法组织
将原始线性代数方程组改写为的形式，其中为的矩阵函数。于是可以得到迭代格式：，此即为迭代法的迭代格式。如果在计算时，将已经算出的分量立即代换对应分量，则得到迭代法的迭代格式。
迭代法的算法组织如下：
给出迭代格式
给出迭代初始向量、允许误差和最大迭代次数
按照迭代格式进行迭代，直至达满足迭代停止条件
停止，输出结果
迭代法的算法组织如下：
给出迭代格式
给出迭代初始向量、允许误差和最大迭代次数
按照迭代格式，并且将已经算出的分量立即代换对应分量进行迭代，直至达满足迭代停止条件
停止，输出结果
3.2计算结果及分析
利用matlab编写Jacobi迭代法程序，运行程序根据提示输入系数矩阵、右端行向量以及容许误差，计算过程及结果如下图所示。

利用matlab编写Gauss-Seidel迭代法程序，运行程序根据提示输入系数矩阵、右端行向量以及容许误差，计算过程及结果如下图所示。

对比分析以上结果可知,达到相同的计算精度，Gauss—Seidel迭代比Jacobi迭代的速度慢，迭代次数更多。
四、Newton插值多项式和三次样条插值多项式
已知，对
计算函数在点处的值;
求插值数据点的插值多项式和三次样条插值多项式;
对，计算和相应的函数值;
计算，，解释所得到结果。
4.1算法组织
4.1.1求Newton插值多项式，算法组织如下：
Newton插值多项式的表达式如下：

其中每一项的系数ci的表达式如下：

根据上述公式，为了得到系数需计算：
一阶差商
二阶差商
…………
n阶差商
n+1阶差商
4.1.2求三次样条插值多项式，算法组织如下：
所谓三次样条插值多项式是一种对区间进行分段的分段函数，然后在每一段上进行分析，即它在节点分成的每个小区间上是3次多项式，其在此区间上的表达式如下：

因此，只要确定了的值，就确定了整个表达式，的计算方法如下：
令：

则满足如下n-1个方程：

方程中有n+1个未知量，则令和分别为零，则由上面的方程组可得到的值，可得到整个区间上的三次样条插值多项式。
4.2计算结果及分析
第一部分运行结果

第二部分运行结果：
n=5时，Newton插值多项式
Nnn=
-0.000000000000003664*xx^5+1.202*xx^4+0.000000000000001465*xx^3-1.731*xx^2-0.00000000000000005276*xx+0.5673
n=10时，Newton插值多项式
Nnn=-220.9*xx^10-0.00000000000005684*xx^9+494.9*xx^8+0.0000000000002187*xx^7-381.4*x