4.3-向量与实数相乘-学案(含答案).doc

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4.3向量与实数相乘学案（含答案）

43向量与实数相乘学习目标
1.掌握向量与实数相乘运算及其几何意义，掌握向量与实数相乘运算的运算律，能熟练地进行向量与实数相乘运算.2.掌握平行向量的条件，会根据平行向量的条件判断两个向量是否平行或点共线.3.理解单位向量的概念及意义知识链接1已知非零向量a，作出aaa和aaa，你能说明它们与向量a之间的关系吗答aaa3a；aaa的长度是a的长度的3倍，其方向与a的方向相同；aaa3a，aaa的长度是a长度的3倍，其方向与a的方向相反2已知非零向量a，你能说明实数与向量a的乘积a的几何意义吗答a仍然是一个向量当0时，a与a的方向相同；当0时，a与a的方向相反；当0时，a0，方向任意|a||||a|.预习导引1向量与实数相乘运算1将向量v乘以一个正数，得到一个向量v，它的方向与v相同，长度|v|是|v|的倍2将向量v乘以一个负数，得到一个向量v，它的方向与v相反，长度|v|是|v|的||倍3向量v乘以0得到的0v是零向量2平行向量1平行向量方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，也叫做共线向量2平行向量的条件两个向量平行其中一个向量是另一个向量的实数倍3零向量的方向零向量的方向是任意的，零向量与所有的向量平行4向量与实数的乘法运算律1设a是任意向量，x，y是任意两个实数，则xyaxaya，xyaxya.2设a，b是任意两个向量，是任意实数，则abab.5单位向量长度为1的向量称为单位向量.题型一向量的数乘运算例1化简下列各式123a2b3a5b54ba；222a8b44a2b解1原式6a4b3a15b20b5a14a9b；2原式4a16b16a8b12a24b2a4b.规律方法向量的初等运算类似于实数的运算，其化简的方法与代数式的化简类似，可以进行加.减.数乘等运算，也满足运算律，可以进行去括号.移项.合并同类项等变形手段跟踪演练1若向量a3i4j，b5i4j，则32ba________.答案16ij解析32baab3a2b2baab3i4j5i4j11ij5i4j16ij.题型二用已知向量表示未知向量例2如图所示，已知ABCD的边BC，CD上的中点分别为K，L，且e1，e2，试用e1，e2表示，.解方法一设x，则x，e1x，e1x，又x，由，得xe1xe2，解方程得xe2e1，即e2e1，由，e1x，得e1e
2.方法二设x，y，则x，y.由，，得2得x2xe12e2，x2e2e1，同理得y2e1e2，即e2e1，e1e
2.方法三如图所示，延长BC与AL交于点E，则DLACLE，从而2，，，由，得2e2e1，即2e2e1e2e
1.同理可得2e1e2e1e
2.规律方法1由已知量表示未知量时，要善于利用三角形法则.平行四边形法则，以及向量线性运算的运算律，还应重视平面几何知识的应用2当直接表示较困难时，应考虑利用方程组求解跟踪演练2如图，ABC中，，DEBC交AC于E，BC边上的中线AM交DE于N，设a，b，用a，b表示向量，，，，，.解DEBC，，b，ba.由ADEABC，得ba又M是ABC底边BC的中点，DEBC，baaabaabADNABM，，ab题型三平行向量的应用例3已知非零向量e1，e2不共线1如果e1e2，2e18e2，3e1e2，求证A，B，D三点共线；2欲使ke1e2和e1ke2共线，试确定实数k的值解1e1e2，2e18e23e13e25e1e
25.，共线，且有公共点B，A，B，D三点共线2ke1e2与e1ke2共线，存在，使ke1e2e1ke2，即ke1k1e2，由于e1与e2不共线，只能有k
1.规律方法1本题充分利用了平行向量的条件，因此用它既可以证明点共线或线共线问题，也可以根据共线求参数的值2向量共线的判断证明是把两向量用共同的已知向量来表示，进而互相表示，从而判断共线跟踪演练3如图所示，已知在ABCD中，点M为AB的中点，点N在BD上，且3BNB
D.求证M.N.C三点共线证明设a，b，则ab，ab，a，b，ab，aab，，，又M为公共点M.N.C三点共线课堂达标1化简182abc6a2bc22ac；
2.解1原式16a8b8c6a12b6c4a2c1664a812b862c6a4b.2原式a4b4a2b3a6b2ba.2如图，，.求证.证明，，.3.如图，四边形ABCD的边AD，BC的中点分别为E，F，试问，与平行吗解因为，，两式相加得，2，而，是一对相反向量，，也是一对相反向量，所以2，即，故与平行4已知向量a，b不共线，且cab，da21b，若c与d同向，求实数的值解由于c与d同向，所以ckdk0，于是abka21b整理得abka2kkb.由于a，b不共线，所以有整理得2210，所以1或.又因为k0，所以0，故
1.