高中数学第二章平面向量2.3平面向量的数量积2.3.1向量数量积的物理背景与定义课堂导学案新人教B版.doc

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高中数学第二章平面向量2.3平面向量的数量积2.3.1向量数量积的物理背景与定义课堂导学案新人教B版必修

2、3、1向量数量积的物理背景与定义课堂导学三点剖析
一、平面向量的数量积关于向量的数量积,注意:(1)我们不说两个向量的积,而说是它们的数量积或者内积;(2)规定:零向量与任一向量的数量积为0;(3)两个向量的数量积是一个数量,向量a、b的数量积的大小与两个向量的长度及其夹角有关;(4)向量的数量积的结果是一个数量,可以等于正数、负数、零,而向量的加法和减法的结果还是一个向量;(5)两个向量的数量积是两个向量之间的一种乘法,与以前学过的数的乘法是有区别的,在书写时一定要把它们严格区分开来,当中的“”不能省略;(6)当〈a,b〉为锐角时,ab>0;当〈a,b〉为直角时,ab=0;当〈a,b〉为钝角时,ab<0;(7)有些向量的数量积有一定的含义,如向量F、s的数量积,就是力F移动位移s所做的功、
【例1】
已知|a|=4，|b|=5，且a与b的夹角为
60、求：（1）ab；（2）（a+b）2；（3）（a-b）2；（4）a2-b
2、思路分析：利用两向量数量积公式ab=|a||b|cosθ、|a|2=a2及运算律计算、解析:（1）ab=|a||b|cosθ=45cos60=
10、（2）（a+b）2=a2+2ab+b2=42+210+52=
61、(3)(a-b)2=a2-2ab+b2=|a|2-2|a||b|cosθ+|b|2=42-20+52=
21、（4）a2-b2=|a|2-|b|2=42-52=-
9、类题演练1已知|a|=4，|b|=
5、当（1）a∥b；（2）a⊥b；（3）a与b的夹角为30时，分别求a与b的数量积、思路分析:确定夹角θ运用数量积的公式列式求解、解:（1）a∥b、若a与b同向，则θ=0,ab=|a||b|cos0=45=
20、若a与b反向，则θ=180,ab=|a||b|cos180=45(-1)=-
20、(2)当a⊥b时，θ=90,ab=|a||b|cos90=0、(3)当a与b的夹角为30时，ab=|a||b|cos30=、变式提升1在等腰直角三角形ABC中,斜边AC=,求、思路分析:要求、,关键是确定与的夹角、解:如图(1),在等腰直角三角形ABC中,斜边AC=,所以直角边AB==
2、∴||=2,||=、如图(2),与的夹角∠BAC=45,∴=(-)=-()=-||||cos∠BAC=-2cos45=-2=-
4、
二、两向量的夹角关于两向量的夹角,注意:(1)已知两个非零向量a、b(如图所示),作=a,=b,则∠AOB称为向量a与向量b的夹角,记作〈a,b〉、(2)两向量夹角的范围是［0,π］,且〈a,b〉=〈b,a〉、(3)当〈a,b〉=时,称向量a与向量b互相垂直,记作a⊥b、规定零向量与任一向量垂直、(4)当〈a,b〉=0时,a与b同向;当〈a,b〉=π时,a与b反向、
【例2】
已知单位向量e
1、e2的夹角为60,求向量a=2e1+e2与b=2e2-3e1的夹角θ、思路分析:注意单位向量的模是1这个隐含条件、解:∵e1e2=|e1||e2|cos60=cos60=,∴ab=(2e1+e2)(2e2-3e1)=-6e12+e1e2+2e22=、又a2=(2e1+e2)2=4e12+4e1e2+e22=7,b2=(2e2-3e1)2=4e22-12e1e2+9e12=
7、∴|a|=|b|=,则cosθ==-,又∵0≤θ≤π,∴θ=π、类题演练2已知|a|=5，|b|=4，且ab=-10，求a与b的夹角θ、思路分析:用夹角公式,即数量积公式变形、解:cosθ==-,又θ∈［0,π］,∴θ=、变式提升2在△ABC中,=a,=b,且ab>0,则△ABC是()
A、锐角三角形
B、直角三角形
C、钝角三角形
D、不能确定解析:由两向量夹角的概念,a与b的夹角应为180-∠
B、因为ab=|a||b|cos(180-B)=-|a||b|cosB>0,所以cosB<0、又因为B∈(0,180),所以角B为钝角、所以△ABC为钝角三角形、答案:C温馨提示此题主要考查两向量夹角的概念,应避免ab=|a||b|cosB>0得cosB>0,进而得角B为锐角,从而无法确定,错选
D、
三、向量在轴上的投影这部分内容要注意:(1)已知向量a和轴l(如图所示),作=a,过点O、A分别作轴l的垂线,垂足分别为O
1、A1,则向量叫做向量a在轴l上的正射影(简称射影)、(2)a在轴l上的正射影,称作a在轴l上的数量或在轴l的方向上的数量,记作a,a=|a|cosα、(3)射影的坐标是数量,当α为锐角时,a为正值;当α为钝角时,a为负值;当α=0时,a=|a|;当α=π