二维变换和二维观察总结.pptx

第五章二维变换和二维观察二维变换内容5.1图形变换预备知识矢量的数乘

矢量的点积

性质矢量的长度

单位矢量
矢量的夹角

矢量的叉积矩阵
阶矩阵
n阶方阵
零矩阵
行向量与列向量
单位矩阵
矩阵的加法
矩阵的数乘
矩阵的乘法
矩阵的转置
矩阵的逆
矩阵的含义
矩阵：由m×n个数按一定位置排列的一个
整体，简称m×n矩阵。

矩阵运算
加法
设A，B为两个具有相同行和列元素的矩阵

A+B=
数乘
kA=[k*aij]|i=1...m,j=1,..n

乘法
设A为3×2矩阵，B为2×3矩阵

C=A·B=

C=Cm×p=Am×n·Bn×pcij=∑aik*bkj
单位矩阵
在一矩阵中，其主对角线各元素aii=1,其余皆为0的矩阵称为单位矩阵。n阶单位矩阵通常记作In。Am×n=Am×n·In逆矩阵
若矩阵A存在A·A-1=A-1·A=I，则称A-1为A的逆矩阵
矩阵的转置
把矩阵A=(aij)m×n的行和列互换而得到的n×m矩阵称为A的转置矩阵,记作AT。
(AT)T=A
(A+B)T=AT+BT
(aA)T=aAT
(A·B)T=BT·AT
当A为n阶矩阵，且A=AT，则A是对称矩阵。矩阵运算的基本性质
交换律与结合律师
A+B=B+A;
A+(B+C)=(A+B)+C
数乘的分配律及结合律
a(A+B)=aA+aB;
a(A·B)=(aA)·B=A·(aB)
(a+b)A=aA+bA
a(bA)=(ab)A矩阵乘法的结合律及分配律
A(B·C)=(A·B)C
(A+B)·C=A·C+B·C
C·(A+B)=C·A+C·B
矩阵的乘法不适合交换律

所谓齐次坐标表示法就是由n+1维向量表示一个n维向量。如n维向量(P1,P2,…,Pn)表示为（hP1,hP2,hPn,h），其中h称为哑坐标。
1、h可以取不同的值，所以同一点的齐次坐标不是唯一的。
如普通坐标系下的点（2,3）变换为齐次坐标可以是(1,1.5,0.5)(4,6,2)(6,9,3)等等。
2、普通坐标与齐次坐标的关系为“一对多”
由普通坐标h→齐次坐标
由齐次坐标÷h→普通坐标
3、当h=1时产生的齐次坐标称为“规格化坐标”，因为前n个坐标就是普通坐标系下的n维坐标。(x,y)点对应的齐次坐标为

(x,y)点对应的齐次坐标为三维空间的一条直线
1.将各种变换用阶数统一的矩阵来表示。提供了用矩阵运算把二维、三维甚至高维空间上的一个点从一个坐标系变换到另一坐标系的有效方法。
2.便于表示无穷远点。
例如：（xh,yh,h)，令h等于0
3.齐次坐标变换矩阵形式把直线变换成直线段，平面变换成平面，多边形变换成多边形，多面体变换成多面体。
4.变换具有统一表示形式的优点
便于变换合成
便于硬件实现图形变换是计算机图形学基础内容之一。

几何变换，投影变换，视窗变换

线性变换，属性不变，拓扑关系不变。

作用：
把用户坐标系与设备坐标系联系起来；
可由简单图形生成复杂图形；
可用二维图形表示三维形体；
动态显示。
图形的几何变换5.2基本二维变换内容5.2BasicTransformations基本变换5.2.12D平移矩阵表示
xx’tx
P=P’=T=
yy’ty

P’=P+T5.2.22D旋转Formula
针对坐标原点
x’=x*cosθ-y*sinθ
y’=x*sinθ+y*cosθ
如何得到上述公式?
针对任意点(xr,yr)旋转的计算公式?
矩阵表示
xx’cosθ-sinθ
P=P’=R=
yy’sinθcosθ

P’=RPScaling变比
Def.改变图形对象大小的变换
Parameters:变比因子(Sx,Sy),基准点，方向
Formula:
针对坐标原点针对固定参考点(xf,yf)
x’=x*Sx x’=xf+(x-xf)*Sx
y’=y*Sy y’=yf+(y-yf)*Sy

2D变比讨论二维变换内容5.2.42D矩阵表示5.2.42D矩阵表示平移变换
x’10txx
y’= 01tyy
10011

P’=T(tx,ty)*P
旋转变换
x’cosθ-sinθ0x
y’= sinθcosθ0y
10011

P’=R(θ)*P 变比变换
x’sx00x
y’= 0sy0y
10011

P’=S(sx,sy)*P
注意：上述三种都是针对坐标原点和X/Y轴方向的。 Basictransformation（基本变换）
Matrixrepresentation（矩阵表示）
Compositetransformation（复合变换）
Other2Dtransformations（其他变