第6章平面向量及其应用6.4.3第3课时习题课-余弦定理和正弦定理的综合应用巩固练习含解析.docx

6.4.3余弦定理、正弦定理
第3课时习题课——余弦定理和正弦定理的综合应用
课后训练巩固提升
一、A组
1.在△ABC中,c=2,A=30°,B=120°,则△ABC的面积为()
A.32 B.3
C.33 D.3
解析:∵C=180°-30°-120°=30°,
∴a=c=2,
∴面积S=12acsinB=12×2×2×sin120°=3.
答案:B
2.已知三角形的面积为14,其外接圆的面积为π,则这个三角形的三边之积为()
A.1 B.2
C.12 D.4
解析:由题意得,外接圆的半径R=1,
S=12absinC=12abc2R=abc4=14.
故abc=1.
答案:A
3.在△ABC中,c=3,b=1,B=30°,则△ABC的面积为()
A.32或3 B.32或34
C.3或34 D.3
解析:由正弦定理,得sinC=csinBb=32,
∵B=30°,
∴0°<C<150°,∴C=60°或C=120°.
当C=60°时,S△ABC=12bcsinA=32;
当C=120°时,S△ABC=12bcsinA=34.
答案:B
4.已知三角形的两边之差为2,它们夹角的余弦值为35,面积为14,则这个三角形的这两边长分别是()
A.3和5 B.4和6 C.6和8 D.5和7
解析:设a-b=2,cosC=35,则sinC=45,
S△ABC=12absinC=14,故ab=35.
由a-b=2和ab=35,解得a=7,b=5.
答案:D
5.已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若△ABC的面积为a2+b2-c24,则C=()
A.π2 B.π3 C.π4 D.π6
解析:由余弦定理,得S△ABC=a2+b2-c24=2abcosC4=12abcosC,
又S△ABC=12absinC,故tanC=1,C=π4.故选C.
答案:C
6.在锐角三角形ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若sinA=223,a=2,S△ABC=2,则b的值为.
解析:结合三角形面积公式可得12bcsinA=2,
则bc=3,①
在锐角三角形中,由同角三角函数基本关系有cosA=1-sin2A=13,
结合余弦定理a2=b2+c2-2bccosA可得4=b2+c2-2×3×13,则b2+c2=6,②
①②联立可得b=c=3.
答案:3
7.在△ABC中,BC=5,AC=3,sinC=2sinA,则cos(B+C)=.
解析:设角A,B,C所对的边分别为a,b,c,
∵sinC=2sinA,∴AB=2BC=25,由余弦定理知cosA=b2+c2-a22bc=9+20-52×3×25=255,
又A+B+C=π,
∴cos(B+C)=-cosA=-255.
答案:-255
8.在△ABC中,AB·AC=tanA,当A=π6时,△ABC的面积为.
解析:∵AB·AC=|AB|·|AC|cosA=tanA,
∴|AB||AC|=sinAcos2A,
∴S△ABC=12|AB||AC|sinA=12×sin2Acos2A=12×1434=16.
答案:16
9.如图所示,在△ABC中,已知BC=15,AB∶AC=7∶8,sinB=437,求BC边上的高AD的长.

解:在△ABC中,由已知设AB=7x,AC=8x(x>0).
由正弦定理得7xsinC=8xsinB.
∴sinC=7xsinB8x=78×437=32.
∵AB<AC,∴C<B,∴C=60°.
由余弦定理得,
(7x)2=(8x)2+152-2×8x×15cos60°,
∴x2-8x+15=0,解得x=3或x=5.
∴AB=21,AC=24或AB=35,AC=40.
在△ABD中,AD=AB·sinB=437AB,
∴AD=123或AD=203.
10.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且满足bcosA=(2c+a)cos(π-B).
(1)求B的大小;
(2)若b=4,△ABC的面积为3,求a+c的值.
解:(1)由正弦定理及bcosA=(2c+a)cos(π-B),得sinBcosA=(2sinC+sinA)(-cosB),
即sinBcosA+cosBsinA=-2sinCcosB,
∴sin(B+A)=-2sinCcosB.
又B+A=π-C,∴sinC=-2sinCcosB,
又sinC≠0,∴cosB=-12.
∵0<B<π,∴B=2π3.
(2)由S△ABC=12acsinB=12ac·32=3得ac=4.
由余弦定理得42=a2+c2-2accos2π3,
∴16=(a+c)2+ac,
∴(a+c)2=12,
∴a+c=23.
二、B组
1.已知钝角三角形ABC的面积为12,AB=1,BC=2,则AC=()
A.5 B