2022高三全国统考数学北师大版理一轮复习学案2.2-函数的单调性与最值含解析.docx

2.2函数的单调性与最值
必备知识预案自诊
知识梳理
1.函数的单调性
(1)单调函数的定义
增函数减函数定义一般地,设函数f(x)的定义域为I,如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1,x2当x1<x2时,都有,那么就说函数f(x)在区间D上是增函数当x1<x2时,都有,那么就说函数f(x)在区间D上是减函数图像
描述
自左向右看图像是
自左向右看图像是(2)单调区间的定义
如果函数y=f(x)在区间D上是或,那么就说函数y=f(x)在这一区间具有(严格的)单调性,叫作函数y=f(x)的单调区间.
2.函数的最值
前提设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实数M满足条件(1)对于任意x∈I,都有;
(2)存在x0∈I,使得(3)对于任意x∈I,都有;
(4)存在x0∈I,使得结论M为最大值M为最小值
1.函数单调性的常用结论:

f(x)在区间D上是增函数f(x)在区间D上是减函数定义法x1<x2⇔f(x1)<f(x2)x1<x2⇔f(x1)>f(x2)图像法从左到右函数图像上升从左到右函数图像下降导数法导数大于零导数小于零运算法增加的+增加的减少的+减少的复合函
数法内外层单调性相同内外层单调性相反
考点自诊
1.判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”.
(1)函数y=1x在(-∞,0)∪(0,+∞)内是减少的. ()
(2)函数f(x)=log5(2x+1)的递增区间是(0,+∞).()
(3)函数y=f(x)在[a,+∞)上是增加的,则函数的递增区间是[a,+∞). ()
(4)设任意x1,x2∈[a,b],且x1≠x2,那么f(x)在[a,b]上是增加的⇔f(x1)-f(x2)x1-x2>0. ()
(5)所有的单调函数都有最值. ()
2.(2020广东潮州检测)下列函数在区间(0,1)上为增加的是()
A.y=-x3+1 B.y=cosx
C.y=log12x D.y=x-1x
3.(2020广东佛山一中月考)已知a>0且a≠1,函数f(x)=ax,x≥1,ax+a-2,x<1在R上递增,那么实数a的取值范围是()
A.(1,+∞) B.(0,1) C.(1,2) D.(1,2]
4.已知函数f(x)=2x+1x-1,其定义域是[-8,-4),则下列说法正确的是()
A.f(x)有最大值53,无最小值
B.f(x)有最大值53,最小值75
C.f(x)有最大值75,无最小值
D.f(x)有最大值2,最小值75
5.(2020湖南三湘名校十月联考,14)已知函数f(x)的图像关于y轴对称,当x≥0时,f(x)递增,则不等式f(2x)>f(1-x)的解集为.
关键能力学案突破
考点证明或判断函数的单调性【例1】讨论函数f(x)=x+ax(a>0)在(0,+∞)内的单调性.
思考判断函数单调性的基本方法有哪些?
解题心得1.判断函数单调性的四种方法
(1)定义法;
(2)图像法;
(3)利用已知函数的单调性;
(4)导数法.
2.证明函数在某区间上的单调性有两种方法
(1)定义法:基本步骤为取值、作差或作商、变形、判断;
(2)可导函数可以利用导数证明.
3.复合函数单调性的判断方法
复合函数y=f(g(x))的单调性,应根据外层函数y=f(t)和内层函数t=g(x)的单调性判断,遵循“同增异减”的原则.
对点训练1判断并证明函数f(x)=axx-1(a≠0)在(-1,1)上的单调性.
考点求函数的单调区间【例2】(1)函数f(x)=|x2-3x+2|的递增区间是 ()
A.32,+∞
B.1,32和[2,+∞)
C.(-∞,1]和32,2
D.-∞,32和[2,+∞)
(2)函数f(x)=ln(x2-2x-8)的递增区间是()
A.(-∞,-2) B.(-∞,1)
C.(1,+∞) D.(4,+∞)
(3)函数f(x)=(3-x2)ex的递增区间是;递减区间是.
思考求函数的单调区间有哪些方法?
解题心得求函数的单调区间与确定函数单调性的方法一致,常用以下方法:
(1)利用已知函数的单调性,即转化为已知函数的和、差或复合函数,求单调区间.
(2)定义法:先求定义域,再利用单调性的定义.
(3)图像法:如果f(x)是以图像形式给出的,或者f(x)的图像易作出,可由图像的直观性写出它的单调区间.
(4)导数法:利用导数取值的正负确定函数的单调区间.
对点训练2(1)函数f(x)=log2(x2-3x-4)的递减区间为()
A.(-∞,-1) B.-∞,-32
C.32,+∞ D.(4,+∞)
(2)已知函数f(x)=ln(x-2)+ln(6-x),则()
A.f(x)在(2,6)上递增
B.f(x)在(2,6)上的最大值为2ln2
C.f(x)在(2,6)上递减
D.y=f(x)的图像关于点