2020-2021学年人教A版数学选修2-3学案1.3.2-杨辉三角与二项式系数的性质含解析.doc

1．3.2“杨辉三角”与二项式系数的性质
内容标准学科素养1.了解杨辉三角，会用杨辉三角求二项式乘方次数不大时的各项的二项式系数．
2.理解二项式系数的性质并灵活运用.利用直观想象
提升数学运算授课提示：对应学生用书
[基础认识]
知识点“杨辉三角”与二项式系数的性质
知识梳理1.杨辉三角的特点
(1)在同一行中，每行两端都是1，与这两个1等距离的项的系数相等．
(2)在相邻的两行中，除1以外的每一个数都等于它“肩上”两个数的和，即Ceq\o\al(k,n＋1)＝Ceq\o\al(k－1,n)＋Ceq\o\al(k,n).
2．二项式系数的性质
性质内容对称性Ceq\o\al(m,n)＝Ceq\o\al(n－m,n)，即二项展开式中，与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等增减性与最大值如果二项式的幂指数n是偶数，那么展开式中间一项的二项式系数最大如果n为奇数，那么其展开式中间两项与的二项式系数相等且同时取得最大值各二项式
系数的和二项展开式中各二项式系数的和等于2n，即Ceq\o\al(0,n)＋Ceq\o\al(1,n)＋Ceq\o\al(2,n)＋…＋Ceq\o\al(n,n)＝2n奇数项的二项式系数之和等于偶数项的二项式系数之和，都等于2n－1，即Ceq\o\al(1,n)＋Ceq\o\al(3,n)＋Ceq\o\al(5,n)＋…＝Ceq\o\al(2,n)＋Ceq\o\al(4,n)＋Ceq\o\al(6,n)＋…＝2n－1[自我检测]
1．A＝Ceq\o\al(0,n)＋Ceq\o\al(2,n)＋Ceq\o\al(4,n)＋…与B＝Ceq\o\al(1,n)＋Ceq\o\al(3,n)＋Ceq\o\al(5,n)＋…的大小关系是()
A．A＞B B．A＝B
C．A＜B D．不确定
答案：B
2．利用杨辉三角，将(a＋b)7展开为________________________________________．
答案：a7＋7a6b＋21a5b2＋35a4b3＋35a3b4＋21a2b5＋7ab6＋b7
3．在(a＋b)8的展开式中，二项式系数最大的项为________，在(a＋b)9的展开式中，二项式系数最大的项为________________．
答案：70a4b4126a5b4与126a4b5
授课提示：对应学生用书
探究一与杨辉三角有关的问题
[例1]如图在“杨辉三角”中，斜线AB的上方，从1开始箭头所示的数组成一个锯齿形数列：1,2,3,3,6,4,10,5，…，记其前n项和为Sn，求S19的值．
[解析]由题图知，数列中的首项是Ceq\o\al(2,2)，第2项是Ceq\o\al(1,2)，第3项是Ceq\o\al(2,3)，第4项是Ceq\o\al(1,3)，…，第17项是Ceq\o\al(2,10)，第18项是Ceq\o\al(1,10)，第19项是Ceq\o\al(2,11).∴S19＝(Ceq\o\al(1,2)＋Ceq\o\al(2,2))＋(Ceq\o\al(1,3)＋Ceq\o\al(2,3))＋(Ceq\o\al(1,4)＋Ceq\o\al(2,4))＋…＋(Ceq\o\al(1,10)＋Ceq\o\al(2,10))＋Ceq\o\al(2,11)＝Ceq\o\al(2,3)＋Ceq\o\al(2,4)＋Ceq\o\al(2,5)＋…＋Ceq\o\al(2,11)＋Ceq\o\al(2,11)＝Ceq\o\al(3,3)＋Ceq\o\al(2,3)＋Ceq\o\al(2,4)＋Ceq\o\al(2,5)＋…＋Ceq\o\al(2,11)－1＋Ceq\o\al(2,11)＝Ceq\o\al(3,12)－1＋Ceq\o\al(2,11)＝274.
方法技巧解决与杨辉三角有关的问题的一般思路
跟踪探究1.如图，在由二项式系数所构成的杨辉三角中，第________行中从左到右第14与第15个数的比为2∶3.
第0行1
第1行11
第2行121
第3行1331
第4行14641
第5行15101051
………
解析：设第n行从左至右第14与第15个数之比为2∶3，则Ceq\o\al(13,n)∶Ceq\o\al(14,n)＝2∶3.
∴3Ceq\o\al(13,n)＝2Ceq\o\al(14,n)，即eq\f(3·n！,13！·n－13！)
＝eq\f(2·n！,