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2010数学分析考研真题答案

第一篇：2010数学分析考研真题答案2010年硕士研究生入学考试试题答案及评分标准一、（12分）按数列极限定义证明：lim证明：2n2n31n22n0.nn31考试科目代码：636考试科目名称：数学分析————4分任给0,要22n,只要,即只要nn2n31————10分取N2n2nnNlim0.————12分,则当时,,所以,33nn1n1二、（14分）若f(x)在点x0连续，证明f2(x)也在点x0连续.证明：设f(x)在点x0连续,则01,0,xx0,f(x)f(0x),————4分f(x)f0x————20(x)1fx()8分,同时f(x)f(0x)于是f2(x)f2(x0)12f(x0).————12分所以f2(x)在点x0连续.————14分三、（14分）证明f(x)axb(a0)在(,)上一致连续.证明：x,x,,f(x)f(x)axx,————4分0,取a,当xx时,就有f(x)f(x),————12分所以f(x)axb(a0)在(,)上一致连续.————14分四、（16分）设f(x)在[0,1]上可导且导函数连续.证明：limnxnf(x)dxf(1).n01（）证明：由于f(x)在[0,1]上连续,因此存在Mmaxf(x)————2分0x1xn111n1nf(x)xf(x)dx0xf(x)dx0n1n10111n1f(x)xf(x)dx,————8分0n1n1又因11M0,————12分xn1f(x)dxMxn1dx00n2所以11nnf(1)xn1f(x)dxf(1)————16分limnxf(x)dxlim00nnn1五、（16分）证明级数sinnx在区间(0,)内条件收敛.nn1sinnxsin2nx1cos2nx1cos2nx证明：,————4分nn2n2n2nn1由于数列单调趋于零,且部分和数列cos2kx有界,2nk1由Dirichlet判别法知,cos2nx收敛,————10分2nn1sinnx1又发散,所以级数在区间(0,)内发散————13分nn1n12n原级数收敛性显然,因此原级数在区间(0,)内条件收敛.————16分六、（14分）证明函数序列sn(x)(1x)xn在[0,1]上一致收敛.证明：sn(x)在[0,1]上收敛于s(x)0，由sn(x)s()1xn,x————5分nn1及(1xx)xxnn1,n易知sn(x)s(x)在x取到最大值，从而————10分n1nn11dsn,s1n1n0n0.n1n1所以,函数序列sn(x)(1x)xn在[0,1]上一致收敛.————14分nnuxy七、（16分）通过自变量变换11,变换方程vxy22z22z2zx(xy)y0.x2xyy2解：zz1zzz1z2,,————3分xuxvyuy2v2z2z22z12z2z,————6分x2u2x2uvx4v2x3v2z2z22z12z2z22423,————9分2yuyuvyvyv2z2z112z12z,————12分xyu2x2y2uvx2y2v2代入原方程,得x注意到vyx2y211z2z20,uvxyvu11xyu,即xy,于是就有vxyxyxyxyx2y2xyxyxy112xy4xyxyuv2u24uvuv4.v从而得变换后的方程2z2z.————16分uvu4uvvx2y2z22az,若从z轴的正向八、（16分）计算ydxzdyxdz,其中L为曲线Lxza(a0)看去，L的方向为逆时针方向.解：设是L所围的平面xzaa0的部分，方向由右手法则确定（即取上侧）.上任一点的单位法向量cos,cos,cos,————6分由Stokes公式,LydxzdycosxdzxycosyzcosdS————13分zx