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2012年大连理工数学分析试题及解答（精选五篇）

第一篇：2012年大连理工数学分析试题及解答2012年大连理工大学硕士生入学考试试题——数学分析一、从以下的第一到第八题中选取6题解答，每题10分1.证明：f(x)11.计算曲面积分ISx3dydzy3dzdxz3dxdy，S为于区间(0,1)（其中001）一致x连续，但是于(0,1)内不一致连续2.证明：若x2y2z2椭球面2221的外侧。abc．设f(于x)单调[a,b，则n(x1)nCf(于x)内[a,b可积]Riemann，对于任意的c>0，n(x)在[1,c][c,1]一致收敛于0。证明：对于任意g(x)C[1,1]：0,x为无理数3.证明：Dirichlet函数：f(x)1在所pq,xq(有理数)有无理点连续，在有理点间断，limg(x)n(x)g(0)n13．证明：一个严格递增函数的间断点只能是第一类间断点4.证明：若f(x)C(a,b),，（指(a,b)上的连续函数）证明：首先，证明左右极限都存在。不妨先证明左极限存在。如果不存在，函数有界，那么存在且任意(,)(a,b)，f(x)dx0，那么f(x)0，两个不同的子列，收敛于不同极限Ax(a,b)A,和递增矛盾。同理，右极限也存在5.证明：然后证明，左极限不等于右极限，否则，根据严格递增不难得到函数在该点是连续的，又和nenx于(不一致收敛，但是对于0,于一致收敛)0题目矛盾n1从而命题成立14．14xsin,x06.证明：f(x)，在x=0处有连续的二x0,x0阶导数7.利用重积分计算三个半长轴分别为a,b,c的椭球体的体积解：三种方法：8.计算第二类曲面积分：中f(x,y)于(,)[a,b)连续，I(y)f(x,y)dx于y[a,b)收敛，但是，证明，f(x,b)d发散xI(y)于y[a,b非一致收敛)xdydzydzdxzdxdy，其是三角形（x,y,z0,xyz1），法方向按与x,y,z轴成锐角为正。解：（Gauss定理）一、从9-14题中选4题解答9．假设limana,证明：limna12a2...nanann22证明：Stolz公式利用定义也可以做的10．计算积分：Ixdyydxx2y2，其中，Γ为包含原点的一条分段光滑闭曲线，取正方向。证明：利用Green公式，不过要注意去掉中间那个极点第二篇：数学分析专题研究试题及参考答案数学分析专题研究试题及参考答案一、填空题（每小题3分，共18分）1．集合X中的关系R同时为反身的，对称的，传递的，则该关系R为.2．设E是非空数集，若存在实数β，满足1）xE，有x；2），则称β是数集E的下确界。3．函数yf(x)在点x0的某个邻域内有定义，若存在，则称函数f(x)在点x0可导。4．若yf(x)是对数函数，则f(x)满足函数方程f(xy)。5．若非零连续函数f(x)满足方程f(xy)f(x)f(y)，则函数f(x)是函数。(0,1)，6．设函数f(x)定义在区间(a,b)上，对于任意的x1,x2(a,b)，有成立，则称f(x)在(a,b)上为下凸函数。二、单项选择题（每小题3分，共18分）1．设f：XY，AX，则A（）f1(f(A))A.=B.≠C.D.2．已知函数yf(x)在区间(a,b)上可导，x(a,b)，有0f(x)1，则（）。A.f(x)有界B.f(x)无界C.f(x)可积D.f(x)不可积3．已知函数f(x)与(x)在[a,b]上可导，且f(x)B.f(x)Cf(x)>(x)D.前三个结论都不对1t[0,1]xf(t)F(x)f(t)dt02t(1,2]，对于x[0,2]，定义4．已知，则F(x)在区间[0，2]上（）。A.连续B.不连续C.可导D.前三个结论都不对5．已知f(x)是区间[a,b]上的严格下凸函数，则（）。A.f(x)0B.最小值唯一C.f(x)0D.最大值唯一6．f(x)sinxx定义在（0，1）上，则f(x)在（0，1）上是（）函数A.有界B.无界C.周期D.偶三、计算题（每小题8分，共32分）21．已知f(x)tancosx，求f(x)2．求定积分20xcosxdx23．已知f(x1)x4x3，求f(x)。4．求x0limxsinxx3四、证明题（每小题8分，共32分）anlimnanr1aa1．设数列{n}满足n>0且n，则级数n1收敛2．已知函数f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内存在二阶