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2013年安徽省中考数学压轴题赏析

第一篇：2013年安徽省中考数学压轴题赏析2013年安徽省中考数学压轴题赏析安徽省太湖县晋熙中学（246400）朱记松汪本若邮箱：[e-mail]一、原题呈现我们把由不平行于底边的直线截等腰三角形的两腰所得的四边形称为“准等腰梯形”。如图1，四边形ABCD即为“准等腰梯形”。其中∠B=∠C。（1）在图1所示的“准等腰梯形”ABCD中，选择合适的一个顶点引一条直线将四边形ABCD分割成一个等腰梯形和一个三角形或分割成一个等腰三角形和一个梯形（画出一种示意图即可）。（2）如图2，在“准等腰梯形”ABCD中，∠B=∠C，E为边BC上一点，若AB∥DE，AE∥DC，求证：ABBE。DCEC（3）在由不平行于BC的直线截ΔPBC所得的四边形ABCD中，∠BAD与∠ADC的平分线交于点E，若EB=EC，请问当点E在四边形ABCD内部时（即图3所示情形），四边形ABCD是不是“准等腰梯形”，为什么？若点E不在四边形ABCD内部时，情况又将如何？写出你的结论（不必说明理由）第23题图1第23题图2第23题图3二、试题解答（1）如图所示：（画出其中一种即可）第23题（1）答案图（2）证明：∵AE∥CD，∴∠AEB＝∠C，又∵AB∥ED，∴∠B＝∠DEC，∴△ABE∽△DCE。即：AEBE。=CDECABBE。=CDEC又∠B=∠C，∴△ABE为等腰三角形，AB=AE。故（3）解：过点分别作EF⊥AB，EG⊥AD，EH⊥CD，垂足分别为F，G，H（如图）第23题（3）答案图∵AE平分∠BAD，∴EF=EG。又ED平分∠ADC，∴EG=EH，∴EF=EH，又∵EB=EC，∴Rt△BFE≌Rt△CHE，∴∠3=∠4，又∵EB=EC，∴∠1=∠2，∴∠1+∠3=∠4+∠2，即∠ABC=∠DCB。又∵四边形ABCD为AD截某三角形所得，且AD不平行BC，∴四边形ABCD为“准等腰梯形”。当点E不在四边形ABCD内部时，有两种情况：当E点在边BC上时，四边形ABCD是“准等腰梯形”，如下图（1）示：EB=3.0厘2米EC=3.0厘2米BAE=51.2°9EAD=51.2°9ADE=68.7°6EDC=68.7°6ABC=59.9°4DCB=59.9°4B图（1）当E点在四边形ABCD外时，四边形ABCD不一定是“准等腰梯形”，如图（2）（3）示，图（2）中的四边形ABCD不是“准等腰梯形”；图（3）中的四边形ABCD是“准等腰梯形”。BAE=53.96°EAD=53.96°ADE=68.98°EDC=68.98°EC=4.06厘米BE=4.06厘米ABC=55.52°BCP=58.59°图（2）图（3）三、深入研究(一）规律探究通过上述解析，我们发现，由于E点所处的位置在∠BPC的平分线上不能唯一确定，满足“在由不平行于BC的直线截ΔPBC所得的四边形ABCD中，∠BAD与∠ADC的平分线交于点E，若EB=EC”的条件下的四边形ABCD不一定是“准等腰梯形”。它何时为“准等腰梯形”引发了笔者的思考。笔者经过探究发现：连接PE，无论E点在四边形ABCD内，或边BC上，或四边形ABCD外，若∠BPC的平分线PE⊥BC，则四边形ABCD是“准等腰梯形”。具体分析如下：1、若PE⊥BC，无论E点在四边形ABCD内部，如图1—1；或E点在边BC上，如图1—2所示；或E点在四边形ABCD外部，如图1—3所示。由∠BAD与∠ADC的平分线交于点E，则PE为∠BPC的平分线。因为PE为BC的垂直平分线，由轴对称可知∠ABC=∠DCB。又∵四边形ABCD为AD截某三角形所得，且AD不平行BC，∴四边形ABCD为“准等腰梯形”。B图1—1图1—2B图1—3图1—42、若PE不与BC垂直，如图1—4所示，根据角的轴对称性可以作ΔPBM关于射线PM的对称图形ΔPNM，因∠NMC≠0，则NC≠0，即B、C不重合，∠ABC≠∠BCD。四边形ABCD不是“准等腰梯形”。综上所述，在由不平行于BC的直线截ΔPBC所得的四边形ABCD中，∠BAD与∠ADC的平分线交于点E，EB=EC，若直线PE⊥BC，则四边形ABCD是“准等腰梯形”。（二）追根溯源掩卷长思，不禁想起安徽省2008年中考试题的第22题，它们竟然如此相似，其本质是一样的，为了便于比较，特将原题摘录如下：（2008安徽）已知：点O到△ABC的两边AB、AC所在直线的距离相等，且OB=OC。（1）如图1，若点O在边BC上，求证：AB=AC。第22题图1第22题图2（2）如图2，若点O在△ABC的内部，求证：AB=AC。（3）若点O在△ABC的外部，AB=AC成立吗？请画图表示。经过比较，发现这两道的本质是一致的，主要表现在：1、已知的条件是一致的。由（