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2014年浙江大学高等代数考研真题

第一篇：2014年浙江大学高等代数考研真题2014年浙江大学研究生入学考试高等代数试题1.A数。0EnEn，LBM2n(R)ABBA。证明L为M2n(R)的子空间并计算其维0En，请问A是否可对角化并给出理由。若A可对角化为C，给出可逆矩阵002.AEnP，使得P1APC.3.方阵A的特征多项式为f()(2)3(3)2，请给出A所有可能的Jordan标准型。54.1，2，3为AX0的基础解系，A为3行5列实矩阵。求证：存在R的一组基，其包含123，123，12243。5．X，Y分别为mn和nm矩阵，YXEn，AEmXY，证明A相似于对角矩阵。6.A为n阶线性空间V的线性变换，1，2，…，m为A的不同特征值，Vi为其特征子空间。证明：对任意V的子空间W，有W(WV1)(WVm).7.矩阵A，B均为mn矩阵，AX0与BX0同解，求证A、B等价。若A、B等价，是否有AX0与BX0同解？证明或举反例否定。8.证明：A正定的充分必要条件是存在方阵Bi（i1,2,,n），Bi中至少有一个非退化，使得ABBii1nTi。9.定义为[0,1]到n阶方阵全体组成的欧式空间的连续映射，使得(0)为第一类正交矩阵，(1)为第二类正交矩阵。证明：存在T0(0,1)，使得(T0)退化。10.设g，h为复数域C上n维线性空间V的线性变换，ghhg。求证g，h有公共的特征向量。若不是在复数域C上而是在实数域R上，则结论是否成立？若成立，给出理由；不成立举出反例。对试题有任何疑问，或者需要更多浙江大学或数学系的考研资料，可以进一步与我讨论。QQ：334216522。第二篇：2013年广西大学高等代数考研真题2013年广西大学研究生入学考试——高等代数一、填空题：11、已知A为三阶矩阵，且A，求A12A=------------22、已知A30，则(EA)1----------3、与三阶矩阵等价的矩阵标准型有----------4、实数域上的不可约多项式为----------5、设A为n阶方阵，则A'A的特征值为----------，且A'A为-----------矩阵6、n阶实对称矩阵的维数是------------7、已知1,2,3线性相关，则12,23,13线性相关性---------------8、设V是n维线性空间，则核空间与象空间的维数之间的关系是-------9、设欧氏空间上的内积定义为f(x),g(x)f(x)g(x)dx，则1=----------------010、设瑞利商Rnx'Enxx'Ax，求REn-------------x'xx'xa11二、已知a12a1na22an2a21an1a11x1a12x2a1,n1xn1a1na2na21x1a22x2a2,n1xn1a2n，求证无解0an1x1an2x2an,n1xn1annann三、实数域上的多项式f(x),g(x)满足（f(x),g(x)）=1,并设(x)与(x)如下：3n32m(x)(x1)f(x)(xx)g(x)，求证：((x),(x))x12n2m(x)(xx)f(x)(x1)g(x)四、设有n个实系数多项式f1(x),f2(x),,fn(x)的次数不大于n-2，且a1,a2,,anf1(a1)为任意常数，求证：f1(a2)f2(a2)fn(a2)f1(an)f2(an)fn(an)0f2(a1)fn(a1)五、设三阶矩阵A，是否存在可逆矩阵使之相似于对角阵注：矩阵A里面的具体数值记不清了，但A是一个非对称矩阵。比如说由EA0可计算出特征值为-2，-2，5，其中特征值-2对应两个特征向量，特征值5对应一个特征向量，因此得出可相似于对角阵1求Im,Ker六、设为线性空间V上的的一线性变换，且(f(x))f'(x)，○2线性空间V是否为Im与Ker的直和○七、设复数域C6上一线性变换在基底1,2,,6下的矩阵是Jordan矩阵，且212311J的初等因子○2C6的不变子空间直和J，求：○3135八、线性空间V上的两组向量1,2,,m与1,2,,m，满足(i,j)(i,j)其中i、j1,2,m，求证：L(1,2,,m)L(1,2,,m)九、设A为实二次型对