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不等式证明方法讲义（五篇范文）

第一篇：不等式证明方法讲义不等式的证明方法一、比较法1.求证：x2+3>3x2.已知a,b,m都是正数，并且aab23.已知a,b都是正数，并且ab，求证：a5+b5>a2b3+a3b2作商法1.设a,bR，求证：ab(ab)+ababba二、综合法1．综合法：利用某些已经证明过的不等式（例如算术平均数与几何平均数定理）和不等式的性质推导出所要证明2．用综合法证明不等式的逻辑关系是：AB1B2BnB3．综合法的思维特点是：由因导果，即由已知条件出发，利用已知的数学定理、性质和公式，推出结论的一种证例题：已知a，b，c是不全相等的正数，求证：a(bc)b(ca)c(ab)6abc例题：已知a，b，c都是正数，且a，b，c成等比数列，求证：abc(abc)例题：a,b,cR,求证：1(abc)(***19)92(abc)()abcabbcca2三、分析法例题：求证372例题：已知a,b,c,d∈R,求证:ac+bd≤(ab)(cd)例题：用分析法证明下列不等式:(1)求证:571(2)求证:x1(3)求证:a,b,c∈R,求证:2(+2222x2x3x4(x≥4)ababcab)3(abc)23四、换元法三角换元：若0≤x≤1，则可令x=sin(022)或x=sin2(222若xy1，则可令x=cos,y=sin(02代数换元：“整体换元”,“均值换元”,例题：求证：11xx222例题：已知x>0,y>0，2x+y=1，求证：11322xy2例题：若xy1，求证：|x2xyy|2222五、放缩法与反证法abcd2abdbcacdbdac1111例题：求证：22222123n例题：若a,b,c,dR+，求证：1例题：（用反证法）设0例题：已知a+b+c>0，ab+bc+ca>0，abc>0，求证：a,b,c>04六、构造法22222222例题：已知02习题精选精解例题：正数x,y满足x2y1，求1/x1/y的最小值。例题：设实数x,y满足x(y1)1，当xyc0时，求c的取值范围。例题：已知函数f(x)axbx(a0)满足1f(1)2，2f(1)5，求f(3)的取值范围。例题：已知abc，求证：abbccaabbcca例题：222222222例题：设fxxx13，实数a满足xa1，求证：fxfa2a12注：式的最后一步省略了对a0,a0,a0的详细分析，正式解题时不能省。分析过程用a,b同号|ab||a||b|||a||b|||ab|;a,b异号|ab||a||b|||a||b|||ab|例题：a、b、c(0,)，abc1，求证：例题：xy1，求证：2xy例题：已知1≤x＋y≤2，求证：2222a2b2c2132122≤x－xy＋y≤3．22第二篇：证明不等式方法不等式的证明是高中数学的一个难点，题型广泛，涉及面广，证法灵活，错法多种多样，本节通这一些实例，归纳整理证明不等式时常用的方法和技巧。1比较法比较法是证明不等式的最基本方法，具体有“作差”比较和“作商”比较两种。基本思想是把难于比较的式子变成其差与0比较大小或其商与1比较大小。当求证的不等式两端是分项式（或分式）时，常用作差比较，当求证的不等式两端是乘积形式（或幂指数式时常用作商比较）例1已知a+b≥0，求证：a3+b3≥a2b+ab2分析：由题目观察知用“作差”比较，然后提取公因式，结合a+b≥0来说明作差后的正或负，从而达到证明不等式的目的，步骤是10作差20变形整理30判断差式的正负。∵（a3+b3)(a2b+ab2)=a2(a-b)-b2(a-b)=(a-b)(a2-b2)证明：=(a-b)2(a+b)又∵(a-b)2≥0a+b≥0∴(a-b)2(a+b)≥0即a3+b3≥a2b+ab2例2设a、b∈R+，且a≠b，求证：aabb＞abba分析：由求证的不等式可知，a、b具有轮换对称性，因此可在设a＞b＞0的前提下用作商比较法，作商后同“1”比较大小，从而达到证明目的，步骤是：10作商20商形整理30判断为与1的大小证明：由a、b的对称性，不妨解a＞b＞0则aabbabba=aa-bbb-a=(ab)a-b∵ab0，∴ab1，a-b0∴(ab)a-b(ab)0=1即aabbabba＞1，又abba＞0∴aabb＞abba练习1已知a、b∈R+，n∈N