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不等式证明若干方法

第一篇：不等式证明若干方法安康学院数统系数学与应用数学专业11级本科生论文（设计）选题实习报告11级数学与应用数学专业《科研训练2》评分表注：综合评分60的为“及格”；第二篇：证明不等式方法不等式的证明是高中数学的一个难点，题型广泛，涉及面广，证法灵活，错法多种多样，本节通这一些实例，归纳整理证明不等式时常用的方法和技巧。1比较法比较法是证明不等式的最基本方法，具体有“作差”比较和“作商”比较两种。基本思想是把难于比较的式子变成其差与0比较大小或其商与1比较大小。当求证的不等式两端是分项式（或分式）时，常用作差比较，当求证的不等式两端是乘积形式（或幂指数式时常用作商比较）例1已知a+b≥0，求证：a3+b3≥a2b+ab2分析：由题目观察知用“作差”比较，然后提取公因式，结合a+b≥0来说明作差后的正或负，从而达到证明不等式的目的，步骤是10作差20变形整理30判断差式的正负。∵（a3+b3)(a2b+ab2)=a2(a-b)-b2(a-b)=(a-b)(a2-b2)证明：=(a-b)2(a+b)又∵(a-b)2≥0a+b≥0∴(a-b)2(a+b)≥0即a3+b3≥a2b+ab2例2设a、b∈R+，且a≠b，求证：aabb＞abba分析：由求证的不等式可知，a、b具有轮换对称性，因此可在设a＞b＞0的前提下用作商比较法，作商后同“1”比较大小，从而达到证明目的，步骤是：10作商20商形整理30判断为与1的大小证明：由a、b的对称性，不妨解a＞b＞0则aabbabba=aa-bbb-a=(ab)a-b∵ab0，∴ab1，a-b0∴(ab)a-b(ab)0=1即aabbabba＞1，又abba＞0∴aabb＞abba练习1已知a、b∈R+，n∈N，求证（a+b）（an+bn）≤2（an+1+bn+1）2基本不等式法利用基本不等式及其变式证明不等式是常用的方法，常用的基本不等式及变形有：（1）若a、b∈R，则a2+b2≥2ab（当且仅当a=b时，取等号）（2）若a、b∈R+，则a+b≥2ab（当且仅当a=b时，取等号）（3）若a、b同号，则ba+ab≥2（当且仅当a=b时，取等号）例3若a、b∈R，｜a｜≤1，｜b｜≤1则a1-b2+b1-a2≤1分析：通过观察可直接套用：xy≤x2+y22证明：∵a1-b2b1-a2≤a2+(1-b2)2+b2-(1-a2)2=1∴b1-a2+a1-b2≤1，当且仅当a1+b2=1时，等号成立练习2：若ab0，证明a+1(a-b)b≥33综合法综合法就是从已知或已证明过的不等式出发，根据不等式性质推算出要证明不等式。例4，设a0，b0，a+b=1，证明:(a+1a)2+(B+1b)2≥252证明：∵a0，b0，a+b=1∴ab≤14或1ab≥4左边=4+(a2+b2)=1a2+1b2=4+［(a+b)2-2ab］+(a+b)2-2aba2b2=4+(1-2ab)+1-2aba2b2≥4+(1-12)+8=252练习3：已知a、b、c为正数，n是正整数，且f(n)=1gan+bn+cn3求证：2f（n）≤f（2n）4分析法从理论入手，寻找命题成立的充分条件，一直到这个条件是可以证明或已经证明的不等式时，便可推出原不等式成立，这种方法称为分析法。例5：已知a0，b0，2ca+b，求证：c-c2-ab＜a＜c+c2-ab分析：观察求证式为一个连锁不等式，不易用比较法，又据观察求证式等价于｜a-c｜＜c2-ab也不适用基本不等式法，用分析法较合适。要证c-c2-ab＜a＜c+c2-ab只需证-c2-ab＜a-c＜c2-ab证明：即证｜a-c｜＜c2-ab即证(a-c)2＜c2-ab即证a2-2ac＜-ab∵a＞0，∴即要证a-2c＜-b即需证2+b＜2c，即为已知∴不等式成立练习4：已知a∈R且a≠1，求证：3（1+a2+a4）＞（1+a+a2）25放缩法放缩法是在证明不等式时，把不等式的一边适当放大或缩小，利用不等式的传递性来证明不等式，是证明不等式的重要方法，技巧性较强常用技巧有：（1）舍去一些正项（或负项），（2）在和或积中换大（或换小）某些项，（3）扩大（或缩小）分式的分子（或分母）等。例6：已知a、b、c、d都是正数求证：1＜ba+b+c+cb+c+d+dc+d+a+ad+a+b＜2分析：观察式子特点，若将4个分式商为同分母，问题可解决，要商同分母除通分外，还可用放缩法，但通分太麻烦，故用放编法。证明：∵ba+b+c+cb+c+d+dc+d+a+ad+a+b＞ba+b+c+d+ca+b+c+d+da+b+c+d+aa+b+c+d=a+b+c+da+b+c+d=1又由ab＜a+mb+m(0＜a＜b，m＞0)可得：ba+b+c＜b+da+b+