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中心极限定理和概率统计（合集）

第一篇：中心极限定理和概率统计若{Xn}的分布函数序列{Fn(x)}与X的分布函数F(x)有，在任意连续点x，limFn(x)F(x)。n依概率收敛n若0，有P(XnX)0。准确的表述是，0，0，N,nN，有P(XnX)成立（3）几乎必然收敛如果有P(limXnX)1。准确的表述是，除掉一个0概率集A，对所有的A，n有limXn()X()成立。这是概率空间上的点收敛。n定理1。（切贝雪夫大数律）{Xn}相互独立，且有相同的期望和方差，（不一定同分布）1nPE(Xn)uD(Xn)，n,记YnXi，则Ynu。ni12统计发生——事物某方面的定量记录事前是不确定的，发生后的数据由真值和误差两部分构成，X。X是数据，是真值，是误差。导致误差的原因有：1．系统性误差：偏离真值的本质性错误，有内在原因所致；2．随机性误差：偏离真值的偶然性错误，没有内在原因，是纯偶然因素所致。总体就是一个特定的随机变量通过抽样，获得样本，构造样本统计量，由此推断总体中某些未知的信息从总体中抽样是自由的，且当总体数量足够大，有放回与无放回抽样区别不大，有理由认为，取得的抽样观察值是没有关系的。所以，样本在未抽取前它们是与总体X同分布的随机变量，且是相互独立的，称此为随机样本。定义2。设x1,,xn是取自总体X的一组样本值，g(x1,,xn)是Borel可测函数，则称随机变量g(X1,,Xn)是一个样本统计量。如果总体X中分布函数有某些参数信息是未知的，我们用统计量g(X1,,Xn)去推断这些信息，称此问题为统计推断问题。给样本值x(x1,,xN),y(y1,,yN)，定义：（1）样本均值(xi/n)i1n（2）样本方差1nˆx)ˆvar((xi)2n1i1ˆ样本标准差s.e.e)x)i(y)1n（3）样本协方差cˆov(x,y)(1xn1i1样本相关系数xyˆ(x,y)cov1/2ˆ(x)varˆ(y)][var1nk（4）样本k阶矩Akxik1,2,ni11n（5）样本k阶中心矩Bk(xi)kni1k1,2,X的左侧分位点F，P(XF)dF(x)。左分位点的概率含义是，随机变量F不超过该点的概率等于设总体X分布已知，但其中有一个或多个参数未知，抽样X1,,Xn，希望通过样本来估计总体中的未知参数，称此为参数估计问题，它是统计推断理论中最重要的基础部分。用样本矩作为总体矩的估计量，以及用样本矩的连续函数作为总体矩的连续函数的估计量，这种方法称为矩估计法，这是一种最自然的估计方法。ˆ(x,,x))对任意成立。当样本是称ˆ是参数的一个无偏估计，如果E(1n有限的时候，我们首先要考虑的是无偏性。n1n22ˆS(Xi)2才是方差的无偏估计。故我们在样本统计量中定义n1n1i1S2为样本方差。ˆ是参数的一个一致估计，如果依概率有limˆ(x1,,xn)对任意成立。n有效性在所有关于参数的无偏估计类中0，或所有的一致估计类1中，如果存在ˆ*是参数的一个无偏有效估计或一ˆ*)D(ˆ)对任意ˆ或任意ˆ成立，称D(01ˆ具有最小方差性。致渐近有效估计。即*。无论总体X分布是什么，任意样本Xi和都是X的无偏估计，但比单独的样本估计Xi更有效。DXi，所以n设总体X关于分布F(x,)存在两类问题，一类是分布的形式未知，一类是分布的形式已知但参数未知，提出的问题是，需要对分布的形式作出推断，此称为非参数检验的问题；或需要对参数作出推断，此称为参数检验问题。奈克—皮尔逊定理告诉我们，当样本容量n固定，若要减少犯第一类错误的概率则犯第二类错误的概率会增加，要使两类错误都减少当且仅当增加样本容量。超过了我们设定的F，（如，体温超过37度。）此意味一个小概率事件发生了。于是，我们有理由拒绝命题H0是真的。X~N(u1,12)，Y~N(u2,2)，且相互独立，取样有(x1xn1),(y1yn2)。欲检验H0:u1u2，或更一般，H0:u1u2u（u已知）。如何检验？2（1）若12、2已知因为~N(u1,12n1)，~N(u2,22n2)，且相互独立，所以~N(u1u2,122n1n2)，~N(0,1)，所以可找到检验统计量U。（2）若1222，但未知，欲检验H0:u1u20，因为V222[(n1)S(n1)S]~(n1n22)，11222且与U~N(0,1)独立，n11n212~t