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余弦定理的证明方法大全(共十法)

第一篇：余弦定理的证明方法大全(共十法)余弦定理的证明方法大全(共十法)一、余弦定理余弦定理:三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与他们夹角的余弦的积的两倍,即在ABC中,已知ABc,BCa,CAb,则有a2b2c22bccosA,b2c2a22cacosB,c2a2b22abcosC.二、定理证明为了叙述的方便与统一,我们证明以下问题即可:在ABC中,已知ABc,ACb,及角A,求证:a2b2c22bccosA.证法一:如图1,在ABC中,由CBABAC可得:CCBCB(ABAC)(ABAC)ABAC2ABACb2c22bccosAAB图122即,a2b2c22bccosA.证法二:本方法要注意对A进行讨论.(1)当A是直角时,由b2c22bccosAb2c22bccos90b2c2a2知结论成立.(2)当A是锐角时,如图2-1,过点C作CDAB,交AB于点D,则在RtACD中,ADbcosA,CDbsinA.从而,BDABADcbcosA.在RtBCD中,由勾股定理可得:BC2BD2CD2(cbcosA)2(bsinA)2c22cbcosAb2AD图2-1BC即,a2b2c22bccosA.说明:图2-1中只对B是锐角时符合,而B还可以是直角或钝角.若B是直角,图中的点D就与点B重合；若B是钝角,图中的点D就在AB的延长线上.(3)当A是钝角时,如图2-2,过点C作CDAB,交BA延长线于点D,则在RtACD中,ADbcos(A)bcosA,CDbsin(A)bsinA.从而,BDABADcbcosA.在RtBCD中,由勾股定理可得:CBCBDCD(cbcosA)2(bsinA)2c22cbcosAb2DA图2-2B222即,abc2bccosA.综上(1),(2),(3)可知,均有a2b2c22bccosA成立.证法三:过点A作ADBC,交BC于点D,则BDAD在RtABD中,sin,cos.ccCDAD在RtACD中,sin,cos.bbCD222βαA图3B由cosAcos()coscossinsin可得:ADADBDCDADBDCDcosAcbcbbc2AD22BDCDc2BD2b2CD22BDCD2bc2bcb2c2(BDCD)2b2c2a22bc2bc2整理可得a2b2c22bccosA.证法四:在ABC中,由正弦定理可得abcc.sinAsinBsinCsin(AB)从而有bsinAasinB,………………………………………………………………①csinAasin(AB)asinAcosBacosAsinB.…………………………②将①带入②,整理可得acosBcbcosA.…………………………………………③将①,③平方相加可得a2(cbcosA)2(bsinA)2b2c22bccosA.即,a2b2c22bccosA.证法五:建立平面直角坐标系(如图4),则由题意可得点A(0,0),B(c,0),C(bcosA,bsinA),再由两点间距离公式可得a2(cbcosA)2(bsinA)2c22cbcosAb2.即,a2b2c22bccosA.A(O)图4BxyC证法六:在ABC中,由正弦定理可得a2RsinA,b2RsinB,c2RsinC.于是,a24R2sin2A4R2sin2(BC)4R2(sin2Bcos2Ccos2Bsin2C2sinBsinCcosBcosC)4R2(sin2Bsin2C2sin2Bsin2C2sinBsinCcosBcosC)4R2(sin2Bsin2C2sinBsinCcos(BC))4R2(sin2Bsin2C2sinBsinCcosA)(2RsinB)2(2RsinC)22(2RsinB)(2RsinB)cosAb2c22bccosA即,结论成立.证法七:在ABC中,由正弦定理可得a2RsinA,b2RsinB,c2RsinC.于是,a2b2c22bccosA4R2sin2A4R2sin2B4R2sin2C8R2sinBsinCcosA2sin2A2sin2B2sin2C4sinBsinCcosA2sin2A2cos2Bcos2C4sinBsinCcosA22cos2A22