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余弦定理的三种证明

第一篇：余弦定理的三种证明△ABC中的三个内角∠A，∠B，∠C的对边，分别用a,b,c表示.余弦定理三角形任何一边的平方等于其他两边的平方和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍.即c2=a2+b2-2abcosC,b2=a2+c2-2accosB,a2=b2+c2-2bccosA证明：按照三角形的分类，分三种情形证明之.(1)在RtABC中，如图1-1根据勾股定理:c=a+b因为cosC=0,所以c=a+b-2abcosCAa222,所以b=a+c-2accosBcb222因为cosA=,所以a=b+c-2bccosAc因为cosB=（2）在锐角△ABC中，如图1-2作CDAB于点D，有bcCaBCCD=asinB,BD=acosB，AD=AB-BD=c-acosBbb2=CD2+AD2=(asinB)2+(c-acosB)2=a2+c2-2accosB同理可证：AcBDc2=a2+b2-2abcosC,a2=b2+c2-2bccosA（3）在钝角△ABC中，如图1-3作CDAB，交AB的延长线于点D，则CD=asinCBD=asinB,BD=acosCBD=-acosB，AD=AB+BD=c-acosBb2=CD2+AD2=(asinB)2+(c-acosB)2=a2+c2-2accosB按照（2）的方法可以证明：bac2=a2+b2-2abcosC,a2=b2+c2-2bccosA综上所述，在任意的三角形中，余弦定理总是成立.ABD证明：在△ABC中，令AB=c，AC=b，BC=aaBCBAACbc22222|a|(bc)b2bcc|b|2|b||c|cosA|c|2即a=b+c-2bccosA同理可证：c=a+b-2abcosC,b=a+c-2accosB证明：对于任意一个ABC，建立直角坐标系如图所示，那么A(bcosC,bsinC)，B(a,0)因为余弦定理中涉及到c，我们自然想到计算AB的长度。根据两点间的距离公式，我们有：2222222222AcBabCc2|AB|2(bcosCa)2(bsinC)2a2b22abcosC，即cab2abcosC222第二篇：怎么证明余弦定理怎么证明余弦定理证明余弦定理：因为过C作CD垂直于AB，AD=bcosA;所以(c-bcosA)^2+(bsinA)^2=a^2。又因为b^2-(bcosA)^2=(bsinA)^2，所以(c-x)^2+b^2-(bcosA)^2=a^2，所以c^2-2cbcosA+(bcosA)^2+b^2-(bcosA)^2=a^2，所以c^2-2cbcosA+b^2=a^2，所以c^2+b^2-a^2=2cbcosA，所以cosA=(c^2+b^2-a^2)/2bc同理cosB=(a^2+c^2-b^2)/2ac，cosC=(a^2+b^2-c^2)/2ab2在任意△ABC中,作AD⊥BC.∠C对边为c，∠B对边为b，∠A对边为a-->BD=cosB*c，AD=sinB*c，DC=BC-BD=a-cosB*c勾股定理可知：AC²=AD²+DC²b²=(sinB*c)²+(a-cosB*c)²b²=sin²B*c²+a²+cos²B*c²-2ac*cosBb²=(sin²B+cos²B)*c²-2ac*cosB+a²b²=c²+a²-2ac*cosB所以，cosB=(c²+a²-b²)/2ac2如右图，在ABC中，三内角A、B、C所对的边分别是a、b、c.以A为原点，AC所在的直线为x轴建立直角坐标系，于是C点坐标是(b，0)，由三角函数的定义得B点坐标是(ccosA，csinA).∴CB=(ccosA-b，csinA).现将CB平移到起点为原点A，则AD=CB.而|AD|=|CB|=a，∠DAC=π-∠BCA=π-C，根据三角函数的定义知D点坐标是(acos(π-C)，asin(π-C))即D点坐标是(-acosC，asinC),∴AD=(-acosC，asinC)而AD=CB∴(-acosC，asinC)=(ccosA-b，csinA)∴asinC=csinA…………①-acosC=ccosA-b……②由①得asinA=csinC，同理可证asinA=bsinB，∴asinA=bsinB=csinC.由②得acosC=b-ccosA，平方得：a2cos2C=b2-2bccosA+c2cos2A，即a2-a2sin2C=b2-2bccosA+c2-c2sin2A.而由①可得a2sin2C=c2sin2A∴a2=b2+c2-2bccosA.同理可证b2=a2+c2-2accosB，c2=a