八年级数学-勾股定理的证明及拓展.docx

八年级数学-勾股定理的证明及拓展

第一篇：八年级数学-勾股定理的证明及拓展八年级数学勾股定理的证明及其延伸1.说明勾股定理是数学中一个重要知识。虽然在教材章节内容中所占篇幅不多，在考试中也往往不会作为一个独立知识点进行命题，但其实其内容及方法常常包含在其他各类题目中，是问题解答过程中一个很重要的手段。所以学生对勾股定理要能够十分熟练地进行使用。本文对勾股定理进行证明及拓展，以使学生对其进行深刻理解。2.勾股定理的证明命题：在直角三角形中，a、b为直角边长，c为斜边边长，则有abc。勾股定理一个最简单的证明方法是使用图形证明法。如下图，我们使用4个同样大小的红色直角三角形（a、b为直角边长，c为斜边边长）拼出2个图形：222图1和图2这两个蓝色正方形的面积是相等的（它们的边长都是a+b），而4个红色直角三角形的面积也是相等的，所以2个图形中白色部分的面积也应该相等（都等于蓝色正方形面积减去4个红色三角形的面积）。而左边图形中白色部分的面积是ab，右边图形中白色部分的面积是c，所以abc。2222223.圆与三角形在讨论勾股定理的延伸之前，我们先来看圆与三角形的关系。如图3，以BC为直径做圆，圆心为BC的中点O。在圆上任取一点A，则三角形ABC为直角三角形，其中∠A=90°。如图4，同样做圆。如果A点在圆外，则∠A为锐角。可以这样来证明：连接AO，和圆交与点D。容易得到∠BAC如图5，同样做圆。如果A点在圆内，则∠A为钝角。可以这样来证明：连接OA，并延长和圆交与点D。容易得到∠BAC>∠BDC，而∠BDC=90°，故∠A>90°。综合起来，我们可以得到如下命题：命题：在三角形ABC中，以BC为直径、BC的中心点为圆心做圆，如果A在圆上，则∠A=90°；如果A在圆外，则∠A90°。注意，这个命题的逆命题也是成立的，即：命题：在三角形ABC中，以BC为直径、BC的中心点为圆心做圆，如果∠A=90°，则A在圆上；如果∠A90°，则A在圆内。这个逆命题可以利用上面几副图用反证法很容易证得。4.勾股定理的延伸现在，我们对勾股定理进行延伸，如下：命题：在三角形中，a、b、c为其3条边长，其中c为最长边（c≥a、c≥b），如果三角形为直角三角形，则abc；如果三角形为锐角三角形，则abc；如果三角形为钝角三角形，则abc。请注意上面“c为最长边（c≥a、c≥b）”的条件限定。如果c不是最长边，那么必然是abc，这就不存在任何讨论的必要了。下面我们来证明这一命题。对于直角三角形的情况，那就是勾股定理，前面我们已经证明了。现在只要证明锐角和钝角三角形的情况。见下图，仍然如上一节那样，去最长边c为直径做圆（设这条边为BC），那么直径所对应的∠A也会是三角形ABC中最大的角（大角对大边）。222222222222从上节的讨论中，如果是锐角三角形，A必然在圆外，如图6所示。从A点做直径BC的垂线，交圆于D点。显然AB>BD、AC>DC，而BDDCBC，所以222AB2AC2BC2。如果是钝角三角形，A必然在圆内，如图7所示。从A点做直径BC的垂线，反向延长交圆于D点。显然AB命题：在三角形中，a、b、c为其3条边长，其中c为最长边（c≥a、c≥b），如果222222a2b2c2，则三角形为直角三角形；如果a2b2c2，则三角形为锐角三角形；如果a2b2c2，则三角形为钝角三角形。5.勾股定理的增强描述综合以上的讨论，我们可以对勾股定理进行增强型的表述，如下：在三角形中，a、b、c为其3条边长，其中c为最长边（c≥a、c≥b），则三角形为直角三角形的充分必要条件是abc；三角形为锐角三角形的充分必要条件是222a2b2c2；三角形为钝角三角形的充分必要条件是a2b2c2。第二篇：八年级数学专题-勾股定理第十七章勾股定理17．1勾股定理第1课时勾股定理(1)了解勾股定理的发现过程，理解并掌握勾股定理的内容，会用面积法证明勾股定理，能应用勾股定理进行简单的计算．重点勾股定理的内容和证明及简单应用．难点勾股定理的证明．一、创设情境，引入新课让学生画一个直角边分别为3cm和4cm的直角△ABC，用刻度尺量出斜边的长．再画一个两直角边分别为5和12的直角△ABC，用刻度尺量出斜边的长．你是否发现了32＋42与52的关系，52＋122与132的关系，即32＋42＝52，52＋122＝132，那么就有勾2＋股2＝弦2.对于任意的直角三角形也有这个性质吗？由一学生朗读“毕达哥拉斯观察地面图案发现勾股定理”的传说，引导学生观察身边的地面图形，猜想毕达哥拉斯发现了什么？拼图实验，探求新知1．多媒体课件演示教材第22～23页图17.1－2和图17.1－3，引导学生观察思考．2．组织学生小组合作学习．问题：每组的三个正