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利用函数单调性证明积分不等式(修改)

第一篇：利用函数单调性证明积分不等式(修改)利用函数单调性证明积分不等式黄道增浙江省台州学院（浙江317000）摘要：积分不等式的证明方法多种多样，本文主要利用被积函数的单调性和通过构造辅助函数的单调性证明积分不等式。关键词：函数单调性积分不等式辅助函数中图分类号O172.2积分不等式是微积分学中一类重要的不等式，其证明方法多种多样。如果题目条件中含“单调性”或隐含“单调性”的条件，利用函数单调性证明比较简单。本文主要讨论利用被积函数的单调性和通过构造辅助函数的单调性证明积分不等式。1利用被积函数的单调性证明方法根据----定积分性质之一：设f(x)与g(x)为定义[a,b]在上的两个可积函数，若f(x)g(x),x[a,b]，则f(x)dxg(x)dx.aabb例1设f(x)为[0,1]上非负单调递减函数，证明：对于01，有证明：由f(x)的单调递减性得：若0x1，有f(x)f()所以f(x)dxf()dxf()（1）000f(x)dxf(x)dx同理有f(x)dxf()dx()f()（2）由（1）（2）得：10f(x)dxf()1f(x)dx（3）将（3）式两边同乘以()，有0f(x)dxf(x)dxf(x)dx1，所以f(x)dx因为0例2试证：1cosxx201sinxx20dx.分析：不等式两边的积分是瑕积分。在两边的积分中分别作变换tarccosx与00tarcsinx，原不等式可化为cos(sint)dt2sin(cost)dt，欲证不等式，只需证明cos(sint)sin(cost)，t(0,)，而cos(sint)sin(sint)sin(cost)。22因为t(0,)时，0cost，0sint，而函数ysinx在(0,)上严格单调22222递增，于是只要证明当t(0,)时，有costsint或costsint。当t(0,)时，2222costsint2sin(t)2，于是问题得证。（证略）42利用辅助函数的单调性证明方法根据----变微积分学基本定理和可导函数的一阶导数符号与单调性关系定理：微积分学基本定理：若函数f(x)在[a,b]上连续，则由变动上限积分(x)f(t)dt,x[a,b]，定义的函数在[a,b]上可导，而且(x)f(x).也就a是说，函数是被积函数f(x)在[a,b]上的一个原函数.可导函数的一阶导数符号与函数单调性关系定理：设函数f(x)在[a,b]连续，在(a,b)内可导，如果在(a,b)内f(x)0（或f(x)0），那么f(x)在[a,b]上单调增加（或单调减少）。证明的一般过程：（1）构造辅助函数f(x)，取定闭区间[a,b]；（2）求函数f(x)的导数f'(x)，再判别它的符号，利用可导函数的一阶导数符号与函数单调关系，判断函数的单调性；（3）求函数在区间端点的函数值；（4）根据第2步和第3步即可得证。abbf(x)dx.a2a分析：可将此定积分不等式中常数b变为变数x，利用差式构造辅助函数：x例3设f(x)在[a,b]上连续，且单调递增，试证明xf(x)dxaxxF(x)tf(t)dtf(t)dt，则要证F(b)F(a)0.a2axbatxf(t)dt，则F(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，aa2x11xF'(x)[(xa)f(x)f(t)dt][f(x)f(t)]dta22a证明：设F(x)tf(t)dtx∵f(x)在[a,b]上连续，且单调增加，∴g'(x)0即g(x)在[a,b]上单调增加，∵F(a)0∴F(b)0abbf(x)dx0aa2babbf(x)dx∴xf(x)dxa2a∴xf(x)dxb例4设f(x)，g(x)在[0,1]上的导函数连续，且f(0)0，f'(x)0，g'(x)0，证明：对任何a[0,1]，有g(x)f'(x)dxf(x)g'(x)dxf(a)g(1)00a1分析：可将此定积分不等式的常数a变为变数x，利用差式构造辅助函数：F(x)g(t)f'(t)dtf(t)g'(t)dtf(x)g(1)，则要证F(a)0.00x1证明：令F(x)g(t)f'(t)dtf(t)g'(t)dtf(x)g(1)，x[0,1]，则F(x)在[0,1]上00x1连续，在(0,1)内可导，且F'(x)g(x)f'(x