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利用导数求函数的单调性解读

第一篇：利用导数求函数的单调性解读清华园教育网利用导数求函数的单调性例讨论下列函数的单调性：1．f(x)axax（a0且a1）；2．f(x)loga(3x25x2)（a0且a1）；3．f(x)bx(1x1,b0)．2x1分析：利用导数可以研究函数的单调性，一般应先确定函数的定义域，再求导数f(x)，通过判断函数定义域被导数为零的点所划分的各区间内f(x)的符号，来确定函数f(x)在该区间上的单调性．当给定函数含有字母参数时，分类讨论难于避免，不同的化归方法和运算程序往往使分类方法不同，应注意分类讨论的准确性．解：1．函数定义域为R．f(x)axlnaaxlna(x)lna(axax).当a1时，lna0,axax0,f(x)0.∴函数f(x)在(,)上是增函数．当0a1时，lna0,aaxx0,f(x)0.∴函数f(x)在(,)上是减函数．2．函数的定义域是x1或x2.3f(x)logae(6x5)logae2(3x5x2)3x25x2(3x1)(x2)1时，logae0,6x50,(3x1)(x2)0，3①若a1，则当x∴f(x)0，∴函数f(x)在，上是增函数；当x2时，f(x)0，∴函数f(x)在,2上是减函数②若0a1，则当x131时，f(x)0，3∴函数f(x)在，上是减函数；13清华园教育网清华园教育网当x2时，f(x)0，∴函数f(x)在,2上是增函数3．函数f(x)是奇函数，只需讨论函数在（0，1）上的单调性x(x21)x(x21)当0x1时，f(x)b22(x1)b(x21)2(x1)2若b0，则f(x)0，函数f(x)在（0，1）上是减函数；若b0，则f(x)0，函数f(x)在（0，1）上是增函数．又函数f(x)是奇函数，而奇函数在对称的两个区间上有相同的单调性．所以当b0时，函数f(x)在（－1，1）上是减函数，当b0时，函数f(x)在（－1，1）上是增函数．说明：分类讨论是重要的数学解题方法．它把数学问题划分成若干个局部问题，在每一个局部问题中，原先的“不确定因素”不再影响问题的解决，当这些局部问题都解决完时，整个问题也就解决了．在判断含参数函数的单调性时，不仅要考虑到参数的取值范围，而且要结合函数的定义域来确定f(x)的符号，否则会产生错误判断．分类讨论必须给予足够的重视，真正发挥数学解题思想作为联系知识与能力中的作用，从而提高简化计算能力．利用导数求函数的单调区间例求下列函数的单调区间：1．f(x)x2x3；2．f(x)2xx2；3．f(x)x42b(b0).x分析：为了提高解题的准确性，在利用求导的方法确定函数的单调区间时，也必须先求出函数的定义域，然后再求导判断符号，以避免不该出现的失误．4解：1．函数f(x)的定义域为R，f(x)x4x4(x1)(x1)x令f(x)0，得1x0或x1．∴函数f(x)的单调递增区间为（－1，0）和(1,)；令f(x)0，得x1或0x1，清华园教育网清华园教育网∴函数f(x)的单调递减区间为(,1)和（0，1）．2．函数定义域为0x2.f(x)(2xx2)22xx21x2xx2.令f(x)0，得0x1．∴函数f(x)的递增区间为（0，1）；令f(x)0，得1x2，∴函数f(x)的单调递减区间为（1，2）．3．函数定义域为x0,f(x)1b1(xb)(xb).22xx令f(x)0，得xb或xb．∴函数f(x)的单调递增区间为(,b)和(b,)；令f(x)0，得bxb且x0，∴函数f(x)的单调递减区间是(b,0)和(0,b)．说明：依据导数在某一区间内的符号来确定函数的单调区间，体现了形象思维的直观性和运动性．解决这类问题，如果利用函数单调性定义来确定函数的单调区间，运算显得繁琐，区间难以找准．学生易犯的错误是将两个以上各自独立单调递增（或递减）区间写成并集的形式，如将例1函数f(x)的单调递增区间和递减区间分别写成(1,0)(1,)和(,1)(0,1)的错误结果．这里我们可以看出，除函数思想方法在本题中的重要作用之外，还要注意转化的思想方法的应用．求解析式并根据单调性确定参数例已知f(x)xc，且f[f(x)]f(x1).1．设g(x)f[f(x)]，求g(x)的解析式；2．设(x)