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利用导数证明不等式的四种常用方法

第一篇：利用导数证明不等式的四种常用方法利用导数证明不等式的四种常用方法杨玉新(绍兴文理学院数学系,浙江绍兴312000)摘要:通过举例阐述了用导数证明不等式的四种方法,由此说明了导数在不等式证明中的重要作用.关键词:导数;单调性;中值定理;泰勒公式;Jensen不等式在初等数学中证明不等式的常用方法有比较法、分析法、综合法、放缩法、反证法、数学归纳法和构造法.但是当不等式比较复杂时，用初等的方法证明会比较困难,有时还证不出来.如果用函数的观点去认识不等式,利用导数为工具,那么不等式的证明就会化难为易.本文通过举例阐述利用泰勒公式,中值定理,函数的性质,Jensen不等式等四种方法证明不等式,说明了导数在证明不等式中的重要作用.一、利用泰勒公式证明不等式若函数f(x)在含有x0的某区间有定义,并且有直到(n1)阶的各阶导数,又在点x0处有n阶的导数f(n)(x0),则有公式f(x)f(x0)f(x0)1!(xx0)f(x0)2!(xx0)2f(n)(x0)n!(xx0)(n)Rn(x)在上述公式中若Rn(x)0(或Rn(x)0),则可得f(x0)1!f(x0)2!2f(x)f(x0)(xx0)(xx0)f(n)(x0)n!(xx0)(n)或f(x)f(x0)f(x0)1!(xx0)2f(x0)2!x3(xx0)2f(n)(x0)n!(xx0)(n)例1证明:ln(1x)xx23,(1x1).证明设f(x)ln(1x)（1x1)则f(x)在x0处有带有拉格朗日余项三阶泰勒公式x2ln(1x)x2x33x444(1)(11)x444(1)023ln(1x)xx2x3由以上证明可知,用泰勒公式证明不等式,首先构造函数,选取适当的点x0在x0处展开,然后判断余项Rn(x)的正负,从而证明不等式.二、利用中值定理证明不等式微分(Lagrange)中值定理:若f(x)满足以下条件:(1)f(x)在闭区间[a,b]内连续(2)f(x)在开区间(a,b)上可导f()则(a,b)f(b)f(a)bap1pp例2若0yx,p1则py(xy)xyp1pypp1(xy)p1分析因为0yx,则原不等式等价于pyxyxyppx(p1).令f(x)t,则我们容易联想到Lagrange中值定理f()(xy)p'f(x)f(y)xy.证明设f(t)t,显然f(t)在[y,x]满足Lagrange中值定理的条件f(x)f(y)xyp1p则(y,x)f(),即p＝xyxyp1ppp1(y,x)yx,pypyp1p1ppx(xy)xpyppyp1(xy)例3设f(x)在[a,b]上连续可导,且f(a)f(b)0,则'maxf(x)axb4(ba)2baf(x)dx证明设Mmaxf(x)则由中值公式,当x(a,b)时,有axb'2f(x)f(a)f(1)(xa)f(1)(xa)f(x)f(b)f(2)(xb)f(2)(xb)其中1(a,x),2(x,b).由此可得f(x)M(xa)及f(x)M(bx)所以babaf(x)dx2aabf(x)dxbab2f(x)dx即2aM(xa)dx2bab2M(bx)dxM(ba)4M4(ba)2baf(x)dx所以maxf(x)axb4(ba)2baf(x)dx积分第二中值定理[1]若在区间f[a,b]上f为非负的单调递减函数,而g是可积函数,则存在[a,b],使得例4设f(x)bafgf(a)ga2sintdt,则x0时x1xf(x)1x特别地:当x2003时机为2003年浙江省高等数学竞赛试题(工科、经管类)证明令tu,则由积分第二中值定理x12f(x)xsinudu2u1x＝12x2xsinudu2又因为f(x)(x1)22xsinudu2u2(x1)111＝cosu222xu(x1)22xcosudu32u14cosuduu32＝12xcosx212(x1)cos(x1)2(x1)22x于是,x0时f(x)12x12x12(x1)12(x1)141((x1)22xu32du11x)1x＝2x1由上可见利用中值定理证明不等式,通常是首先构造辅助函数和考虑区间,辅助函数和定义区