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利用概率方法巧妙证明不等式

第一篇：利用概率方法巧妙证明不等式龙源期刊网http://.cn利用概率方法巧妙证明不等式作者：成春华来源：《考试周刊》2013年第64期摘要：本文利用概率方法的简单性质证明某些不等式，旨在把概率知识与其他数学分支联系起来，从而拓宽解题思路，提高创新思维能力，显示出概率方法在应用上的广泛性和优越性，体现出数学的统一性.关键词：不等式概率方法概率模型概率论是研究随机现象规律的数学分支，它有自己独特的概念、定理、性质、公式和结论，形成一套完整的数学体系.一般将用概率论的相关知识解决问题的方法统称为概率方法.无论在初等数学还是在高等数学中，不等式的证明始终是难点.如果考虑将一些不等式，特别是那些变量在0和1之间取值的不等式，可以将这些变量建模成某些事件的概率，这样就可以把不等式问题转化成概率问题.用概率论方法来证明一些不等式，不但可以简化证明，而且可以将概率知识与其他数学分支联系起来，从而拓宽解题思路，提高创新思维能力.本文主要利用事件发生的概率取值范围，互斥事件与独立事件同时发生的概率性质，以及概率公式等概率论中最基础最基本的知识，为不等式的证明提供一种新的思路.这些最基础的知识在证明某些不等式时能发挥不同寻常的作用，使得证明思路自然，运算简单，不需再为不等式如何变形而冥思苦想、绞尽脑汁.下面举例说明概率论方法在一些不等式中的应用，为证明不等式提供一种新的思路.参考文献：[1]王梓坤.概率论基础及其应用.北京：科学出版社，1986.[2]复旦大学.概率论.北京：高等教育出版社，1984.[3]费荣昌.概率统计解题分析.江苏科学技术出版社，1984.[4]匡继昌.常用不等式（第三版）.济南：山东科学技术出版社，2004.第二篇：利用导数证明不等式的四种常用方法利用导数证明不等式的四种常用方法杨玉新(绍兴文理学院数学系,浙江绍兴312000)摘要:通过举例阐述了用导数证明不等式的四种方法,由此说明了导数在不等式证明中的重要作用.关键词:导数;单调性;中值定理;泰勒公式;Jensen不等式在初等数学中证明不等式的常用方法有比较法、分析法、综合法、放缩法、反证法、数学归纳法和构造法.但是当不等式比较复杂时，用初等的方法证明会比较困难,有时还证不出来.如果用函数的观点去认识不等式,利用导数为工具,那么不等式的证明就会化难为易.本文通过举例阐述利用泰勒公式,中值定理,函数的性质,Jensen不等式等四种方法证明不等式,说明了导数在证明不等式中的重要作用.一、利用泰勒公式证明不等式若函数f(x)在含有x0的某区间有定义,并且有直到(n1)阶的各阶导数,又在点x0处有n阶的导数f(n)(x0),则有公式f(x)f(x0)f(x0)1!(xx0)f(x0)2!(xx0)2f(n)(x0)n!(xx0)(n)Rn(x)在上述公式中若Rn(x)0(或Rn(x)0),则可得f(x0)1!f(x0)2!2f(x)f(x0)(xx0)(xx0)f(n)(x0)n!(xx0)(n)或f(x)f(x0)f(x0)1!(xx0)2f(x0)2!x3(xx0)2f(n)(x0)n!(xx0)(n)例1证明:ln(1x)xx23,(1x1).证明设f(x)ln(1x)（1x1)则f(x)在x0处有带有拉格朗日余项三阶泰勒公式x2ln(1x)x2x33x444(1)(11)x444(1)023ln(1x)xx2x3由以上证明可知,用泰勒公式证明不等式,首先构造函数,选取适当的点x0在x0处展开,然后判断余项Rn(x)的正负,从而证明不等式.二、利用中值定理证明不等式微分(Lagrange)中值定理:若f(x)满足以下条件:(1)f(x)在闭区间[a,b]内连续(2)f(x)在开区间(a,b)上可导f()则(a,b)f(b)f(a)bap1pp例2若0yx,p1则py(xy)xyp1pypp1(xy)p1分析因为0yx,则原不等式等价于pyxyxyppx(p1).令f(x)t,则我们容易联想到Lagrange中值定理f()(xy)p'f(x)f(y)xy.证明设f(t)t,显然f(t)在[y,x]满足Lagrange中值定理的条件f(x)f(y)xyp1p则(y,x)f(),即p＝xyxyp1ppp1(y,x)yx,pypyp1p1ppx(xy)xpyppyp1(xy)例3设f(x)在[a,b]上连续可导,且f(a)f(b)0,则'maxf(x)ax